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di quest'ultima curva; ma anche allora sarebbe egualmente curva algebrica, 

 perchè analiticamente separabile dalla curva complessiva, che è appunto 

 algebrica (e sarebbe in tal caso riduttibile). 



* Noi ci occuperemo precisamente di quest'ultimo caso (del caso cioè in 

 cui la curva r è algebrica). Per questo caso, le ricerche del sig. Fuchs sulle 

 equazioni differenziali di 3° ordine furono estese, seguendo lo stesso suo metodo, 

 da Ludwig Schlesinger (Diss. Berlin, 1887) alle equazioni di 4° ordine (.«), 

 mentre altri ancora hanno trattata la stessa questione servendosi degli invarianti 

 differenziali, che, dopo gli ultimi risultati ottenuti da Forsyth (Phil. Trans., 

 voi. CLXXIX) e Brioschi (Acta Math., voi. XIV) si sono dimostrati (più an- 

 cora di prima) ottimo strumento di ricerca. In particolare, Lipm. Schlesinger 

 (Diss. Berlin, 1888) ha trattato nuovamente il caso delle equazioni differen- 

 ziali di 3° ordine; M. Meyer (Diss. Berlin, 1893), quello delle equazioni di 

 4° ordine ; e infine Wallenberg (Journ. de Creile, t. CXIII) ha estesa la ri- 

 cerca a equazioni differenziali di ordine qualunque ( 2 ). 



« 3. In queste ricerche è però opportuno introdurre qualche partico- 

 lare ipotesi sui coefficienti dell'equazione differenziale proposta e sul compor- 

 tamento dei diversi integrali nei relativi punti singolari. Così p. e. nei lavori 

 di Fuchs e dei suoi scolari si suppone quasi sempre di aver a che fare con 

 equazioni di quella categoria, che lo stesso Fuchs ha caratterizzata nella sua 

 Memoria prima sulle equazioni differenziali lineari (Journ. de Creile ; t. LXVI, 

 p. 146, eq. (12) ), e che da lui ha anzi preso il nome (Fuchs'sche Elasse). 

 In particolare, queste equazioni hanno tutte i coefficienti razionali ( 3 ). E spesso 

 si aggiunge anche l'ipotesi che siano razionali le radici di quelle equazioni 

 relative ai diversi punti singolari, che Fuchs ha chiamate (Journ. de Creile, 

 t. LXVIII, p. 367) determinirende Fundamentalgleichungen (e che danno 



(!) Ludw. Schlesinger si è occupato però anche (fino a un certo punto) del caso in 

 cui fra i quattro integrali y { è data una sola equazione. 



(*) Anche i Francesi si sono occupati di queste ricerche, almeno in qualche caso par- 

 ticolare (nel caso, soprattutto, in cui sono date fra le yi equazioni di 2° grado); cfr. ad 

 es. Goursat: Compt. Eend., t. XCVH, p. 31, e Bull. Soc. Math., t. XI (o anche Compt. Eend., 

 t. C, p. 233, dove è studiato il caso di una curva tracciata sulla sviluppabile biquadratica 

 circoscritta a una cubica sghemba); e così pure Halphen : Compt. Eend., t. CI. Halphen 

 ha anche supposto, più generalmente, che un'espressione algebrica, intera, omogenea 



ffy>- II* y») sia data solo come funzione razionale della variabile x, domandandosi 



qual partito si può trarre da una data equazione così fatta per l'integrazione dell'equa- 

 zione differenziale proposta (cfr. la Mem. di lui nel Journ. de Liouville, s. 4 a , t. I; e 

 anche: Brioschi, Ann. di Mai, s. 2 a , voi. XIII). 



( 3 ) E i loro integrali si comportano regolarmente nei punti singolari. H caso in cui 

 non tutti gli integrali hanno comportamento regolare in questi punti fu però studiato in 

 particolare da Thomé (cfr. diverse Mem. nel Journ. de Creile, t. LXXIV-XCV, riassunte 

 nel t. XCVI). 



