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gli esponenti a cui appartengono gli integrali fondamentali delle corrispon- 

 denti sostituzioni lineari) ( I ). 



« Wallenberg suppone invece, da principio almeno, che l'equazione diffe- 

 renziale proposta abbia per coefficienti funzioni algebriche della x. Ma più 

 tardi ricade egli pure nella Fuchs'sche Klasse. 



u Mi supporremo pure che i coefficienti Ai , A», siano funzioni 



algebriche della variabile indipendente x ; ma preciseremo meglio la nostra 

 ipotesi, intendendo che tutte queste funzioni appartengano a una stessa Classe 

 nel senso di Riemann, siano cioè tutte razionali sopra una stessa superfi- 

 cie di Riemann; o, in altri termini, siano funzioni razionali di uno stesso 

 ente algebrico di genere qualunque ( 2 ). Se in particolare questo genere è 

 nullo, avremo il caso dei coefficienti razionali nel senso ordinario. 



« In quest'ipotesi, il gruppo monodromico dell'equazione differenziale pro- 

 posta avrà per operazioni generatrici le sostituzioni lineari delle fi che cor- 

 rispondono : 1° ai giri intorno ai diversi punti singolari ; 2° a quei certi cam- 

 mini chiusi, fra loro irriducibili, che si possono tracciare sulla data superficie 

 di Riemann senza spezzarla (che non si possono cioè restringere fino a ridursi 

 a un punto solo — non singolare — , nel qual caso ad essi corrisponderebbe 

 invece la pura sostituzione identica yt tu --= y l ). Questi cammini, in numero 

 eguale al doppio del genere p della data superficie, possono ritenersi coinci- 

 denti con un sistema qualunque di 2p tagli, che rendano la superficie uni- 

 connessa. 



« Oltre a questo, ci converrà introdurre l'ipotesi, che nei punti singo- 

 lari dell'equazione differenziale proposta (e non potranno essere che quelli 

 in cui diventa infinito qualcuno dei coefficienti) ( 3 ) tutti gli integrali si com- 

 portino regolarmente ( 4 ) (diventino cioè finiti in ogni punto così fatto x — a. 

 quando si moltiplichino per una potenza finita conveniente di x — «, — o per 



una potenza di - , se si tratta del punto x =oo ) ( 5 ). 



x 



u 4. Distingueremo due casi: 



« a) La curva T attachée all'equazione differenziale proposta non am- 

 mette che un numero finito di trasformazioni projettive in sè stessa; 



(1) Quegli integrali cioè che a queste sostituzioni (corrispondenti rispett. a giri intorno 

 ai diversi punti singolari) fanno assumere forma canonica. 



(2) Denominazione dovuta al Weierstrass (lezioni sulle funzioni Abeliane). Cfr. anche 

 C. Segre, Introduzione alla Geometria sopra un ente algebrico semplicemente infinito 

 (Ann. di Mat.; s. 2 a , voi. XXII, p. 71). — Possiamo anche dire, in un modo un po' diverso, 

 studieremo equazioni differenziali lineari sopra un dato ente algebrico. 



(3) Anzi, se p > 0, potrebbe anche darsi che l'equazione proposta non avesse affatto 

 punti singolari. 



( 4 ) Cfr. le Mem. cit. di Fuchs, o anche Thomé : Journ. de Creile , t. LXXV, p. 266. 

 ■ ( 5 ) Con questo però non si esclude la presenza di termini logaritmici in qualcuna 



delle yi fondamentali per una qualsiasi sostituzione del gruppo monodromico. 



