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« b) La stessa curva ammette invece un numero infinito di tali tra- 

 sformazioni. 



« Il caso a) lo divideremo ancora in due : 



« 1) Il gruppo monodromico dell'equazione differenziale proposta è 

 finito (non contiene cioè che un numero finito di operazioni); 



« 2) Il gruppo monodromico anzidetto comprende un numero infinito 

 di operazioni. Queste non potranno però dar luogo che a un numero finito di 

 collineazioni nello spazio S n _! ; sicché le y t saranno bensì funzioni a infiniti 

 valori, ma a questi non corrisponderà che un certo numero finito di valori dei 

 loro mutui rapporti. 



« Nel caso 1) le y t sono funzioni che sulla data superficie di Eiemann 

 hanno comportamento ovunque regolare, e non possono assumere in un punto 

 qualsiasi di questa che un certo numero finito k di valori distinti Sono 

 dunque funzioni algebriche, per quanto in generale non risultino funzioni 

 razionali dello stesso ente algebrico primitivo (ma bensì di un nuovo ente, 

 che si potrà mettere in corrispondenza {k, 1) col primo). In ogni modo, « l'equa- 

 zione proposta è integrabile algebricamente » ( 2 ). 



« Nel caso 2) si conclude in modo perfettamente analogo che le yi de- 

 vono essere ancora funzioni algebriche della variabile x, a meno di uno stesso 

 fattore, che, sulla superficie di Eiemann sulla quale le y t risultano razionali, 

 dovrà essere puramente moltiplicativo, e sarà quindi la funzione esponenziale 

 di un integrale Abeliano. E anche analiticamente si giunge subito a que- 

 st'ultimo risultato, perchè, dovendo l'equazione proposta con una sostituzione 

 y == <f>{%) • v trasformarsi in altra integrabile algebricamente, e quindi anche 

 a coefficienti algebrici, ne viene di conseguenza che dovrà essere in parti- 

 colare funzione algebrica il nuovo secondo coefficiente : 



<P 



0) Resta dunque esclusa senz'altro, per questo caso, la presenza dei termini loga- 

 ritmici di cui alla nota prec. 



( 2 ) Non sarà forse inutile ricordare a questo punto il legame intimo che passa fra 

 le equazioni differenziali lineari di ordine n integrabili algebricamente, e i gruppi dis- 

 continui finiti di sostituzioni lineari di n variabili; e come (cfr. ades.: Klein, Einlei- 

 tung in die hóhere Geometrie, II; Gòttingen, 1893, p. 361) « a ogni gruppo discontinuo 

 « finito di sostituzioni lineari corrisponda tutta una categoria di equazioni differenziali 

 « lineari integrabli algebricamente ». Per lo studio di questi gruppi discontinui sono 

 d'importanza capitale le ricerche di C. Jordan (Journ. de Creile, t. LXXXIV, e Atti dell'i ce. 

 di Napoli, voi. Vili, 1879-80), grazie alle quali è ormai esaurito anche il caso di tre va- 

 riabili (mentre quello di due sole variabili, che era già noto precedentemente, conduce ai 

 gruppi dei corpi regolari). 



