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ove i = y — 1 . Ora se una funzione razionale intera / delle sei compo- 

 nenti di deformazione rimane invariata di forma quando si fa la sostitu- 

 zione (1), e si immaginano in essa sostituite le variabili x, y, z, u, v, w 

 alle primitive, dovrà essere identicamente 



f 0> y, 2, u, v, w) = f (x, y', s', u\ v', w) 

 quando si tenga conto delle (2). Ora notiamo che, essendo z e w già inva- 

 rianti per se stesse, basterà, per la ricerca delle espressioni invariabili, che 

 ci occupiamo di quelle che dipendono da x, y, u, v. Poniamo per questo 



x ~\~ — % u -f- w — W 



x — iy = T*\ u — iv = Wi 

 e le (2) si potranno scrivere 



— 27T. 



Z == e B ' Z' W = c "'W 



(3) 



— 4ir. 2JT. 



« Qualunque invariante f{x, y, u, v) potrà essere trasformato in una 

 funzione di Z, Z x , W, W x , per cui la quistione si riduce a trovare le espres- 

 sioni razionali intere F (Z, Ti x , W, Wi) , per le quali in forza delle (3), si ha 



(4) F (Z, Z, , W, WO = F (Z', Z/ , W/ . W/) 

 « Ora la forma generale di queste espressioni è 



(5) F ■ = 2 . A-pqrs % P Z x * W r Wx s 



ove le Apg rs sono costanti; per le (3) avremo poi 



F == 2 . k pqrs Z'p Z/* W* W/ s (2p - 2g - r+s) 



e affinchè sia vera la relazione (4), tutti gli esponenziali dovranno avere il 

 valore Uno, ossia si dovrà avere 



ra\ 2 P — 2g — y -f- s . , 



(6) — 1 ! — = numero intero. 



Reciprocamente, quando queste condizioni sono soddisfatte, ciascuno dei ter- 

 mini che compongono il secondo membro della (5) è per sè stesso un inva- 

 riante. Dunque il problema della determinazione degli invarianti ciclici, di 

 un dato periodo n, si riduce alla quistione aritmetica di trovare tutte le so- 

 luzioni intere dell'equazione (6). 



« Indichiamo con k, A, fi, v quattro numeri interi arbitrari, e poniamo 

 p = kn X -\- r = hn -\-2X-\-v 

 q = fi, s = v 



« Di qui si ha 



2p — 2q — r -j- s = kn 

 — P -\~Q-{~ r — s = X 



