— 28 — 



la prima delle quali relazioni ci dice che, scelti arbitrariamente i numeri 

 k, X, ii, v, le (7) danno sempre una soluzione dell'equazione (6); e la se- 

 conda, insieme alle altre /t = q, v -- s, ci dimostra reciprocamente che, 

 data una soluzione della (6), è sempre possibile determinare i numeri X, v 

 in modo che essa venga rappresentata dalle (7). Dunque queste forinole ci 

 danno la soluzione generale della equazione proposta. 



« Esse però ci danno, oltre le soluzioni positive anche le negative ; queste 

 conducono ad invarianti fratti, i quali però risultano sempre il quoziente di 

 due invarianti interi, come si vedrà da ciò che segue, e quindi non danno 

 alcun risultato nuovo. A noi basta del resto conoscere gli invarianti interi 

 e quindi supporremo i numeri arbitrari scelti in modo che sia 

 / 8 \ hn -f X -f \i > 0 fcn -f- H -f- v ^ 0 



« In quanto al numero k potremo pure supporlo sempre positivo ; difatti 

 se certi valori p 0 , q 0 , r Q , s 0 soddisfanno la (6) per un valore negativo k 0 di 

 k, è chiaro che i numeri q 0 , p 0 , s 0 , r 0 soddisferanno la stessa equazione per 

 # ~ — h, ed i due invarianti corrispondenti a queste due soluzioni saranno 



Z p « Z/° W s « W;» = P + iQ Z q " W r ° W, 8 " = P — iQ ; 



quindi nei due casi troviamo gli stessi invarianti reali P, Q, che sono quelli 

 che a noi interessano. 



« Dunque possiamo concludere : l'espressione 

 (9) I =r (ZWf n (ZW 2 ) X (ZZ a > (WW0 V 



qualunque siano i numeri k, A, n, v dà sempre un invariante 

 ciclico, generalmente complesso, di periodo n; inoltre qua- 

 lunque invariante ciclico intero ( ] ) si può ottenere da essa 

 prendendo per k un numero positivo e per X, n, v numeri 

 che soddisfacciano alle condizioni (8) , oppure formando una 

 funzione razionale intera di tali espressioni e di g e w. 



« Consideriamo ora gli invarianti reali che si possono ottenere dalla 

 forinola precedente e dapprima supponiamo k = 0. Allora il prodotto 



E = (ZW 2 )^ (ZZO''" (WW0 V 

 sarà invariante per qualsiasi valore di n, e siccome anche L fi, v sono ar- 

 bitrari, ne segue che le tre espressioni 



I = ZW 2 H = ZZi J = WW, 



godranno della stessa proprietà, cioè saranno invarianti di rotazione. Gli ul- 

 timi due sono reali e si ha 



H = x 2 + f J = u 2 + v 2 



(') D'ora innanzi per invariante ciclico si intenderà sempre un invariante ciclico intero. 



i 



