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mentre I è complesso e dà origine a due invarianti reali di terzo grado 



K — x (u- — v 2 ) — 2yuv 

 K'=y {u 2 — v 2 )-\-2xuv 



« Fra questi quattro invarianti non può esistere alcuna relazione lineare ; 

 però se ne ha una non lineare 



K 2 + K' 2 = KJ 2 

 che è assai facile verificare, osservando che 



[I| = |ZW 2 | 



« Esprimendo R mediante gli invarianti di rotazione reali ora trovati, 

 otteniamo 



(10) E = (K + i KT He- J» 



e per le condizioni (8), affinchè R sia intero non dovranno [i e v essere ne- 

 gativi, ed inoltre per X si dovrà avere 



k -f- ìi > 0 21 -\-v>0 



«■ Ora supponiamo l negativo ed osserviamo che a cagione della identità 

 1 = (K 2 + K' 2 )- x H 7 - J 2X 



si può scrivere anche 



(10') R = (H — i K')- x H x+ . a J 21 ^ 



nella quale formola nessun esponente può essere negativo. Da queste due 

 espressioni (10) (10') segue che R e quindi qualunque invariante di 

 rotazione, che non contenga z e w , è una funzione razionale 

 intera dei quattro invarianti H, J, K, K', frai quali si hala 

 relazione 



K 2 -f K' 2 = HJ 2 



« Gli invarianti di rotazione sono stati presi in considerazione dal prof. 

 Beltrami nelle Note sopra citate, dove come invarianti fondamentali assume 

 i seguenti 



A = y^ 2 -\~ 2x B = X x Uy J Xy Z 



C == y z %x Xy X x y 'g 2 yy Z x 2 



insieme naturalmente a z e w. Fra questi invarianti e quelli da noi trovati 

 si hanno le relazioni 



A =— J 4B — z 2 — H — 2C = z J + K 



« L'esistenza dell'invariante K' non credo sia stata finora notata; espri- 

 mendolo in funzione delle componenti di deformazione si ha 

 K' = x y (y/ — z x 2 ) + 2(x z — y y ) y z z x 

 « Passando ora ai veri invarianti ciclici e quindi supponendo k =1= 0, 

 poniamo 



(ZW) n = J 2 „ + i J' 2n 

 Saranno allora J 2 „, J' 2w due invarianti ciclici di grado 2n, linearmente indi- 

 pendenti, legati però a quelli di rotazione dalla relazione 



