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e la espressione generale (9) si ptrà scrivere 



I = (<T 2 « + i J' s „)* (K + *K') X m- 

 nella quale soltanto l potrà essere negativo. Di qui segue che qualunque 

 invariante ciclico, che non contenga s e w, sarà una fun- 

 zione razionale dei sei invarianti J 2n , J' 2n , K, K', H, J, che si 

 potrà sempre porre sotto la forma 



jj« j2j (H, J, K, K , J 2 „ , J' 2)l ) 



ove F è simbolo di funzione razionale intera e t un intero po- 

 sitivo o nullo. 



III. 



« Proponiamoci ora di determinare, per qualunque valore di n, gli in- 

 varianti ciclici di grado minimo. La soluzione di questo problema conduce 

 immediatamente alle conclusioni accennate da principio. 



« Chiamando N il grado di uno qualunque degli invarianti dati dalla 

 (9), avremo 



N = 2kn + 31 -f 2,u -f 2p 

 e la quistione si riduce a trovare i valori di A, A, fi, v che rendono minima 

 la espressione precedente, colla condizione che si abbia 

 fllì A^\ fi>0 v >0 



« Osserviamo che, per ogni terna di valori assegnati ai numeri positivi 

 A, fi, v, il valore di A che rende minima N, compatibilmente con le condi- 

 zioni precedenti, si otterrà prendendo per l fra i due valori 



— (nA + fi) , — \(nA -f v 4- s) 

 quello che è in valore assoluto minore, dove con e indichiamo un numero 

 che è uguale a zero, od a — 1, secondo che nA-\-v è pari o dispari. 



« In secondo luogo notiamo che tutte le quaterne di valori possibili per 

 A, X, fi, v si possono distinguere in tre gruppi secondo quella che è soddi- 

 sfatta fra le tre condizioni 



1° nk-\-fi = -\ (nA 4- v) 

 2° n% -f fi > i- ( n A 4- v) 

 3° 4- ^ < \ (nk 4- »■) 



« Se è soddisfatta la prima, dovremo porre 



x = — 0/£ 4- .'0 ^ •• • ra/c 4- 2jit 



quindi 



N = nA 4- 3,u 



« Il minimo valore di N si avrà allora, per le (11), ponendo A = l, 

 fi = 0 e sarà N = n. 



