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« Questi invarianti sono linearmente indipendenti fra loro e dagli inva- 

 rianti di rotazione; però sono legati a questi ultimi dalle relazioni non lineari 



ih J + ih J IWJ + [ L ^] = H ~ J 



17. 



^ « Finora abbiamo supposto il periodo n come dato, e ci eravamo pro- 

 posti di trovarne tutti gli invarianti corrispondenti, di qualunque grado. Nella 

 teoria della elasticità si presenta un problema in certo modo inverso; si as- 

 sume generalmente per il potenziale una forma di un grado m determinato, 

 e quindi per averne l'espressione più generale conviene conoscere tutti gli in- 

 varianti di grado m, qualunque ne sia il periodo. 



« Supponiamo m = 2; è chiaro che n non potrà superare 4 Difatti per 

 n == 4 esistono gli invarianti ciclici di 2° grado I 2 (4 \ I,'<« ma per n > 5 

 gli invarianti di grado minimo (12) sono almeno di terzo grado. 



«Di qui segue: Se il potenziale di elasticità è una fun- 

 zione quadratica delle componenti di deformazione, esso 

 non può essere formato che cogli [in varianti di rotazione *, 

 w, H, J e con invarianti ciclici di periodo 2, 3, 4. 



« Questo risultato basta per dimostrare il teorema che è oggetto della 

 Nota che ho citato da principio, cioè che la legge di razionalità è una con- 

 seguenza necessaria della ipotesi che il potenziale sia una forma quadratica 

 delle componenti di deformazione. 



« Se ora ammettiamo che il potenziale possa contenere anche termini 

 di terzo grado, esso potrà essere formato anche cogli invarianti di rotazione 

 K e K', ed inoltre cogli invarianti ciclici L 3 (5 \ L' 3 (5> che si ottengono dalle 

 (12) per »=.5. Anche per n = 6 abbiamo gli invarianti I 3 (6) , iy 6 > che 

 pure potranno comparire nel potenziale. Per n > 7 invece gli invarianti di 

 grado minimo sono di grado superiore al terzo. Dunque: 



« Quando il potenziale è una forma di terzo grado, esso 

 può contenere invarianti ciclici di periodo 2,3, 4, 5, 6 e que- 

 sti soltanto. 



« E quindi possibile formare una espressione pel potenziale, distinta da 

 quelle che si hanno nel caso della isotropia assiale, e che corrisponde ad 

 un corpo avente un asse di simmetria elastica di periodo 5. Una tale espres- 

 sione sarebbe, ad esempio 



AL 3 +BL 3 



ove A, B sono costanti. Questo risultato, contrario alla legge di razionalità, 

 per la quale non possono esistere che assi a periodo 2, 3, 4, 6, giustifica 



