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di questi punti corrispondono n punti di cui uno coincide col punto mede- 

 simo, e gli altri n — 1 sono tali che due sono infinitamente vicini, quindi 

 questi punti sono intersezioni di uà e della curva ip. Eisulta quindi che 

 la curva ip è dell'ordine 2(p-l) e che la superficie focale 

 tocca il pia no a lungo la curva g> e lo sega lungo la curva f. 



«11. Per un punto P, r-plo, passano n — l rette di G n tangenti a ip, 

 delle quali r appartengono al cono di G n , di vertice P. E poiché la curva 

 gobba di contatto del cono con la superficie focale è dell'ordine 3r — 1, 

 risulta che questa curva ha un punto (2r — l)plo in P. 



« 12. La curva ip non passa per un punto P„ r-plo, e la curva <p vi 

 passa con r rami, quindi ogni punto eccezionale r-plo di <r è mul- 

 tiplo secondo 2r per la superficie focale. 



« 13. Sieno P, 0 P s due punti fondamentali di a, rispettivamente r-plo 

 ed s-plo, e tali che r + s = n. Alla retta P r P s a , corrisponde in n una 

 curva di ordine n + 1 composta dalle due curve fondamentali corrispondenti 

 ai punti P r> P s , e di ordine complessivo uguale ad n, ed una retta d pas- 

 sante per a. na. Inoltre alla retta d corrisponde una curva a, composta della 

 retta a e di una curva a n di ordine n. Ad ogni punto di a' corrisponde un 

 punto di a ed n — 1 punti di a n , e ad ogni punto di a un punto di d, 

 al punto ad corrisponde se stesso, e al punto della retta a infinitamente 

 vicino a P„ (P s ) corrisponde uno dei punti in cui d taglia la curva fonda- 

 mentale corrispondente; quindi: 



« Le rette di G n , giacenti nel piano ad, formano un fascio, 

 il cui centro si trova sui due coni (P r ), (P s ). 



« La curva a n taglia la retta a in due punti fuori dei punti fonda- 

 mentali per i quali passa la curva doppia, inoltre la curva « B taglia la curva 

 doppia oltre che in questi due punti e nei punti fondamentali, in altri 

 2(n-\-p— 1) — 4; quindi la retta d tocca in due punti la curva limite 

 e la sega in 2 (n + p — 1) — 4 altri punti, e perciò : 



«Il piano ad è tangente alla superficie focale lungo una 

 conica, e la taglia secondo una curva di ordine 2 (n-\-p — 1) — 4. 



t " U - Sia °' n cent ™ del fascio di rette di G n giacenti nel piano ad, 

 e n' un piano per 0' non coincidente con ad. Delle n rette di G n , giacenti 

 in tt' una è la retta s/ = /r. ad; e la retta a è fondamentale nella trasfor- 

 mazione (tv', a). La curva doppia di e è dell'ordine 3n — 1, passa con 3r — 2 

 e 3s — 2 rami per i due punti P r , e P s , e semplicemente per Si, quindi 

 la curva limite di n' tocca in un punto fuori di O r la retta 

 Si, e perciò la conica di contatto fra il piano ad e la super- 

 ficie focale passa per 0'. 



« Ad una retta per 0' corrisponde in ff la retta a ed una curva di 

 ordine n, che ha un punto (r — l)plo in P r ((s — l)plo in P s ), e non 

 passa per Si ; e, poiché questa curva taglia la curva doppia in 2 (n -{-p — 1) — 2 



