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« E queste yx si potranno esprimere sotto la forma : 



y\ — "i , yz — «i «2 > yi — Si So , y n — z 2 , 



dal che segue che l'equazione differenziale proposta ha la proprietà notevo- 

 lissima di ammettere come soluzioni le potenze (n — i)«™e di tutti gli inte- 

 grali dell'equazione differenziale lineare di 2° ordine, alla quale soddisfanno 

 Zi e z 2 (e quindi tutte le funzioni ? yl z x -{-X 2 z 2 , dove X l e A 2 sono costanti ar- 

 bitrarie). Questa nuova equazione differenziale ha pure coefficienti algebrici, 

 che sono funzioni razionali sulla data superficie di Riemann, e si possono fa- 

 cilmente calcolare. L'integrazione dell'equazione proposta è quindi ricondotta 

 a quella di quest'ultima equazione (e corrispondentemente, com' è noto, di 

 un'equazione differenziale di 3° ordine contenente il parametro differenziale 

 di Schwarz. oppure di un' 'equazione di Rie cali). Ma l'integrazione di queste 

 stesse equazioni non si può in generale ricondurre a un problema inferiore ( ! ). 



« 2. Per trattare il caso in cui la curva r è razionale, ma di un or- 

 dine m >. n, normale quindi per uno spazio S m superiore a S„_i , bisogna pre- 

 mettere qualche osservazione sulle possibili trasformazioni proiettive di una 

 tal curva in sè stessa. Già è noto (cfr. ad es. Loria: Giorn. di Battaglini, 

 voi. XXVI) che le ce 3 collineazioni di uno spazio S m , che trasformano in so 

 stessa una data curva razionale normale di questo spazio, non hanno che od 2 

 diverse piramidi fondamentali, ciascuna delle quali è tale per co 1 di quelle colli- 

 neazioni. E sempre due vertici della piramide stanno sulla curva in discorso 

 (e sono i punti uniti della projettività sopra questa), mentre gli altri m — 1 

 sono dati dalle intersezioni degli S ft osculatori alla curva in uno di quei due 

 punti (k -- 1,2,.... m — 1) rispett. cogli S m _ 7t osculatori nell'altro ( 2 ). 



« Da questo, e dal fatto notissimo che, se una curva non normale am- 

 mette una trasformazione proiettiva,' questa deve essere contenuta in altra 

 projettività di uno spazio superiore, che trasformi in sè stessa la curva nor- 

 male di cui la prima è projezione, si trae facilmente che: 



« Se una curva razionale C m appartenente a uno spazio S /£ (dove k <^m) 

 ammette una trasformazione proiettiva, ne ammetterà certo oo 1 aventi una 



(!) Del gruppo monodromico dell'equazione differenziale proposta sappiamo soltanto, 

 in questo caso, che esso è contenuto in un certo gruppo oo 3 di sostituzioni lineari (gruppo 

 che è simile a quello delle oo 3 trasformazioni projettive di una data variabile qualsiasi, 

 — nel senso che le operazioni dei due gruppi si corrispondono biunivocamente — ). Perchè 

 l'integrazione dell'equazione differenziale lineare di 2° ordine a cui siamo giunti possa 

 ricondursi a un problema inferiore (di quadrature cioè, funzioni esponenziali, od opera- 

 zioni algebriche) è necessario (e sufficiente) che il gruppo monodromico sia contenuto in 

 un sottogruppo (algebrico) del gruppo oo 3 considerato di sopra. 



( 2 ) Se però i due primi punti doppi (sulla curva) coincidono, anche gli altri m — 1 

 coincideranno con questi. La projettività nello spazio S m non avrà allora che un solo punto 

 unito, e, di più, una retta, un piano, ... un Sm— i uniti e passanti tutti per questo punto. 

 E questo però il solo caso in cui quelle collineazioni non hanno m -f- 1 punti doppi 

 distinti. 



