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stessa piramide fondamentale, e sarà proiezione di una C m normale da 

 un S m _ft-i appartenente a una delle oo 2 piramidi di S m , che sono fonda- 

 mentali per le trasformazioni proiettive di quest'ultima curvai?). 



« Queste collineazioni dello spazio S ft hanno i loro k-\-l punti doppi 

 tutti distinti ( 2 ), e possono essere le sole che mutino in sè stessa la curva 

 (proiezione) C m . Ma tì è anche un caso in cui questo gruppo co 1 di colli- 

 neazioni ammette un'opportuna estensione (Erweiterung); ed è il caso in cui 

 l'S^fc-i , da cui si è progettata la curva normale di S OT (m >. 4), ha una posi- 

 zione, per così dire, simmetrica rispetto ai punti uniti su detta curva, che sono 

 comuni alle oo 1 projettività di S OT , per le quali quello stesso S OT - 7i -i è spazio 

 unito ( 3 ). — Allora la curva ottenuta come projezione è trasformata in sè stessa 

 da infinite altre projettività, che non formano di per sè un gruppo, ma ne 

 formano bensì uno (misto) assieme alle precedenti. Sulla curva, sono queste 

 le oo 1 involuzioni, nelle quali gli stessi due punti uniti di prima si corri- 

 spondono in doppio modo ( 4 ). 



« 3. Ritornando ora alla considerazione della curva r attachée all'equa- 

 zione differenziale proposta, il risultato testé ottenuto ci mostra che, se detta 

 curva è razionale e non normale (e ammette solo quel primo gruppo oo 1 di 

 trasformazioni proiettive cogli stessi punti uniti), le operazioni generatrici 

 del gruppo monodromico dell'equazione differenziale avranno tutte le stesse 

 soluzioni fondamentali, ossia tutte le sostituzioni lineari del gruppo dovranno 

 ridursi a forma canonica colle stesse y. E poiché si tratta di collineazioni 

 aventi i loro punti doppi essenzialmente distinti, queste y saranno sulla data 



(!) Queste curve razionali rientrano dunque nelle curve W studiate dai sigg. Klein 

 e Lie (Compt. Rend., 1870; Math. Ann., IV); e sono anzi, assieme alle corrispondenti curve 

 normali, le sole W algebriche. — Avremmo anche potuto prender le mosse direttamente 

 da queste curve W, e domandarci quali fra esse sono algebriche ; ma abbiamo preferito 

 ricorrere alle considerazioni esposte di sopra, perchè di queste dovremo anche valerci più 

 avanti. — È chiaro che le curve razionali e non normali, le quali ammettono infinite tras- 

 formazioni projettive in sè stesse, dovranno avere determinate singolarità (una cuspide, 

 oppure determinati spazi iperosculatori). Così ad es. la cubica piana razionale deve avere 

 una cuspide, e la quartica sghemba anche una cuspide, oppure due tangenti stazionarie 

 (cfr. ad es. Klein-Lie, 1. e; o anche: Cremona, Rend. Ist. Lomb., 1868; Bertini, ibid., 

 1872; Cayley, Quart. Journ. of Mathem., VII; ecc.) 



( 2 ) Così avviene infatti per le collineazioni da noi considerate nello spazio S m , a 

 meno che due, e quindi tutti i punti doppi non coincidano sulla curva. E in questo caso 

 la projezione fatta dall'unico punto o da uno degli spazi uniti sarebbe ancora una curva 

 normale, di ordine inferiore. 



( 3 ) Vale a dire, se esso contiene l'intersezione deU'S& osculatore alla curva in uno 

 di quei due punti coH'S m _*, osculatore nell'altro, contenga sempre anche l'intersezione 

 dell'S m _i, osculatore nel primo coll'S*. osculatore nel secondo. 



( 4 ) Il prodotto di due qualunque fra queste involuzioni è infatti una projettività, in 

 generale non involutoria, avente quei certi due punti come punti uniti. 



