superfìcie di Eiemann funzioni puramente moltiplicative, quindi funzioni espo- 

 nenziali di integrali Abeliani relativi a questa stessa superficie ( 1 ). 



« Questi integrali non potranno avere però che infiniti logaritmici ; perchè, 

 se avessero dei poli, questi sarebbero per le y punti singolari essenziali (ces- 

 serebbe cioè quivi il comportamento regolare) ( 2 ). L'integrale generale avrà 

 la forma: 



y = K e Zi + K e 2 ' + - + K e In 

 dove le X sono costanti arbitrarie, e le 2 integrali Abeliani della data super- 

 ficie. L'equazione proposta è dunque integrabile per quadrature ( 3 ). 



« Indichiamo ora con (m Mrì) l'ordine della curva r, e assumiamo le 

 stesse tji moltiplicative come coordinate nello spazio S„_! ; assumiamo cioè 

 come punti di riferimento gli stessi punti uniti comuni alle oo 1 collineazioni 

 che mutano r in sè stessa. E siano precisamente (1) e (2) — quei punti cioè 

 per cui y x o rispettivamente y % sono diversi da zero — i due punti fonda- 

 mentali che stanno su questa curva. La projezione di r su di un piano coor- 

 dinato qualsiasi (1) (2) (h) (h = 3 , 4 , . . . n) daH'S„_ 4 fondamentale rispetti- 

 vamente opposto avrà un'equazione del tipo: 



,. m—r q , r — m ril 



yi 2/2 — yn , L-LJ 

 dove r, al variare di h, assume successivamente n — 2 valori distinti nella 

 serie 1, 2, ... m — 1 ( 4 ). Segue da ciò che posto y x = e 11 e y 2 = e~ 2 , si può 

 assumere, per 3 <. h j< n : 



m—r ■ r 



y%—e 



ossia y h = e CLhl ' + f Jh2 ^ dove a h e fin sono numeri razionali aventi per somma 

 l'unità, e le differenze a h — § h sono tutte diverse fra loro. E possiamo anche 

 estendere quest'espressione ai valori h — 1 e h = 2, ritenendo a x = /? 2 == 1, 

 a 2 = A = 0. E se infine trasformiamo l'equazione differenziale proposta, 

 ponendo : 



2,-2 2 , -ir-M 



— - {x) y = e 



(') Il gruppo monodromico dell'equazione differenziale sarà in questo caso un gruppo 

 Abeliano, vale a dire le operazioni in esso contenute saranno a due a due permutabili. 



( 2 ) L'ipotesi del comportamento regolare, di cui abbiamo fatto uso al n.° 4 della 

 Nota prec, non risulterebbe però necessaria in questa 2 a Nota (tranne che nelle ultime 

 considerazioni del n.° 5). 



( 3 ) — e funzioni esponenziali — , le quadrature essendo però da eseguirsi su funzioni 

 razionali (nel campo di razionalità prescelto! 1 . 



( 4 ) Facciamo astrazione dalla costante, che dovrebbe comparire come fattore al 1° o 

 2° membro, ritenendola inglobata nella ì/h . Ley h non erano infatti determinate finora che a 

 meno di un fattore costante; e adesso ancora, date y 2 , le rimanenti non lo sono che 

 a meno di una radice m sima dell'unità. La determinazione completa è però implicita nelle 

 equazioni successive. — Sono queste appunto le equazioni a due termini (zweigliedrig) di 

 cui fa cenno Wallenberg (1. e, p. 22 e seg.). 



