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mabile in altra a coefficienti costanti, e integrabile essa stessa per qua- 

 drature (più un'estrazione di radice) ; anzi le differenze a h — fa sono in questo 

 caso a due a due eguali ed opposte, sicché l'equazione caratteristica man- 

 cherà dei termini di posto pari. Due qualunque v h e v h r fra loro corrispon- 

 denti differiranno soltanto nel segno dell'esponente (saranno cioè fra loro reci- 

 dz 



proche), e la derivata ^ sarà essa stessa la radice quadrata di una funzione 



razionale sulla superficie di Riemann data (•)• — Di più, le stesse v h e ty, 

 considerate come funzioni di x, soddisferanno a un'equazione differenziale 

 lineare di 2° ordine, i cui coefficienti sono anche funzioni razionali sulla super- 

 ficie data ( 2 ). 



« Concludiamo perciò che l'equazione differenziale proposta (cfr. la Nota 

 prec. cit.), nelle ipotesi da noi introdotte, deve sempre presentare uno di questi 

 tre casi: 



« 1.° L'equazione è integrabile algebricamente, a meno forse di un 

 fattore comune a tutte le soluzioni {il ■ cui logaritmo si potrà determinare 

 con una quadratura); 



« 2.° L'equazione è riducibile ad altra dello stesso ordine con coeffi- 

 cienti costanti, ed è allora integrabile per quadrature e funzioni esponen- 

 ziali (più, forse, un'estrazione di radice quadrata); 



« 3.° L'equazione è riducibile ad altra, pure lineare, di 2° ordine 

 (o ad una delle forme equivalenti) ( 3 ). 



« 5. Aggiungerò ancora poche osservazioni sul caso trattato nei n. 1 2 

 e seg. di questa Nota. 



« Ammesso che le determinirende Fundamentalgleichungen di Puchs 

 relative a tutte le operazioni generatrici del gruppo monodromico abbiano ra- 

 dici razionali (e non occorre aggiungere « fra loro diverse ( 4 ) » , essendo noi 

 già sicuri, per ragioni geometriche, di poter ridurre ogni sostituzione lineare 



0) Da quest'estrazione di radice proviene appunto la nuova irrazionalità, che ci obbliga 

 a passare su di un'altra superficie. — Anche Wallenberg trova per questo caso (1. e, p. 37): 



( 2 ) Anche y h e y h > dovranno soddisfare a una corrispondente equazione differenziale 

 di 2° ordine a coefficienti algebrici, ma non più razionali (in generale) sulla data superficie. 



( 3 ) Se l'equazione proposta non è dunque integrabile algebricamente, lo è per quadra- 

 ture, oppure si riduce a un'equazione di Eiccati — il problema d'integrazione di grado 

 immediatamente superiore — . Quadrature e equazione di Eiccati si presentano — fatta ecce- 

 zione per la sola quadratura del caso a,2) — quando la curva r ammette infinite tras- 

 formazioni proiettive, e rientra perciò nelle curve W di Klein-Lie. Si può verificare passo 

 per passo come a un maggior numero di proiettività trasformanti in sé stessa la curva T, 

 corrisponde sempre un problema di integrazione più complicato. 



( 4 ) Tali anzi, che la differenza fra due radici qualunque di una stessa equazione 

 sia un numero non intero (zero incluso). 



