— 57 — 



del gruppo a forma canonica generale) gli integrali y lt y Zì ...y n potranno 

 differire da funzioni algebriche della x — e precisamente da radici di fun- 

 zioni razionali sulla superfìcie di Riemann data (o su queir altra, in corri- 

 spondenza (2, 1) con questa) — solo per fattori che su questa stessa super- 

 ficie non diventano mai nulli nè infiniti, e saranno perciò funzioni esponen- 

 ziali di integrali Abeliani di l a specie ('). 



« Se introduciamo perciò anche l'ipotesi che l'equazione differenziale pro- 

 posta abbia coefficienti razionali (e appartenga quindi alla classe Fuchsiana), 

 gli integrali stessi y x , . . . y.» saranno radici eli funzioni razionali della x, 

 qualora non si presenti il caso svolto al n. 4. Che se invece questo caso si 

 presenta, saranno funzioni esponenziali di integrali iperelliUict, e non saranno 

 quindi, in generale, funzioni algebriche ( 2 ). Wallenberg esclude questo caso 

 nell'ultimo enunciato della sua Memoria, introducendo l'ipotesi che l'equa- 

 zione differenziale lineare proposta sia irriduttibile ( 3 ), sicché allora il caso 

 in cui la curva r è razionale e normale (di ordine ^ — 1) si presenta come 

 sola eccezione all'integrabilità algebrica dell'equazione stessa (a meno forse 

 di un fattore comune a tutte le soluzioni) ; ed è questo anche il risultato a 

 cui è giunto Ludw. Schlesinger nel caso particolare n = 4 « ( 4 ). 



(1) In particolare, se le y t sono esse stesse funzioni algebriche di X, saranno certo 

 radici di funzioni razionali sull'una o rispettivamente sull'altra superfìcie. 



(2) Nell'esempio cui ricorre Wallenberg (1. e, p. 39), per mostrare che le y possano 

 essere funzioni non algebriche di x, compaiono precisamente funzioni esponenziali di inte- 

 grali ellittici di prima specie. E le equaziooi ch'egli trova dover sussistere fra le diverse y 

 sono precisamente le nostre [2]. Non compare invece nella nostra ricerca il caso degli inte- 

 grali ultraellittici (1. e, p 33 e seg.) - dipendenti cioè dalla radice di indice superiore 

 a 2 di una funzione razionale -, perchè la curva T non sarebbe allora algebrica. 



(3) Se però, fra le tante definizioni che già furon date di equazione differenziale lineare 

 irriduttibile (Frobenius, Kcenisberger, . . . ) noi ci fissiamo su quella che fu proposta (e svi- 

 luppata) recentemente dal sig. Beke per le equazioni a coefficienti razionali (Matti. Ann.; 

 Bd. 45, p. 279 e seg.), e che si potrebbe estendere (in modo ovvio) alle equazioni con coef- 

 ficienti razionali sopra una data superficie di Riemann qualsiasi, risulterebbe ancora 

 riduttibile l'equazione differenziale fra v e x, ma non quella fra y e x. 



(*) Cfr. la Diss. cit., p. 38. Il nome Gebilde zioeiter Stufe non è di facile interpre- 

 tazione; ma si capisce che l'autore accenna al caso in cui le equazioni algebriche date 

 fra y t , . . . y t definiscono una curva. Il caso indicato con (D) - cfr. p. 15 - è quello delle 



equazioni : 



?/i 2/* y 3 

 y* y 3 y* 



che rappresentano appunto, come ognun vede, una cubica sghemba. 



w 2 2 — Wiy 3 =0 



" a ossia 

 yj -2/2 2/4 = 0 



= 0 



