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« 7. Come è noto, la curva limite di n, è la sezione di n con la 

 superficie focale, segue quindi che la superfìcie focale, è dell'ordine 2{n — 1), 

 tocca il piano a secondo le n — 1 rette mi, ed ha un punto 2(n — l)-plo 

 in P„; cioè 



«La superficie focale della congruenza è un cono razio- 

 nale di ordine 2(n — 1) della classe n, il quale ha per vertice 

 P« e tocca il piano e lungo le n — 1 rette m t -, ed il cono 

 (P n ) secondo 2(n — 1) generatrici. 



« 8 Le curve congiunte alle rette di ci (nella trasformazione tv, a) sono 

 dell'ordine n 2 -+- n — 1, passano con n rami per ogni punto S e per P : e 

 con n 2 — 1 rami per P n . La curva congiunta ad un punto S è di ordine n, 

 passa semplicemente per i punti S e per Pj e con a — 1 rami per F n . La 

 curva congiunta a P„ è dell'ordine n 2 — 1, passa con n — 1 rami per i punti 

 S e per Pi e con n z — n rami per P OT . . 



« Ad una retta a per P it in a corrisponde in n una retta a' e la curva /3 

 corrispondente a P, 4 . Ad a' corrisponde a ed una curva a n di ordine n, che 

 è la curva congiunta ad a, in modo che ad ogni punto di d corrisponde 

 un punto di] a ed n — 1 punti della curva a n . I punti corrispondenti de- 

 terminano sulle rette «, d due punteggiate prospettive, quindi le rette della 

 congruenza, giacenti nel piano a a, formano un fascio. Poiché al punto di a 

 infinitamente vicino a P M , corrisponde un punto d'intersezione di § con a', 

 risulta che il centro del fascio giace su una generatrice del cono (PJ; 

 quindi si ha: 



«Per il punto P w passa un numero semplicemente infi- 

 nito di piani eccezionali per la congruenza, che dirò piani 

 o) , in ciascuno dei quali vi è un fascio di rette della con- 

 gruenza, avente il centro sul cono (PJ. 



« La curva doppia taglia la retta a = co a in un punto, fuori di P M ; 

 quindi la retta a è tangente alla curva limite, cioè: 



« Il cono focale della congruenza è inviluppato dai 

 piani a . 



« 0 Abbiamo dimostrato che in un piano qualunque n vi sono n punti 

 S', centri di n fasci di rette della congruenza, giacenti in piani co, e che 

 questi punti S' giacciono sul cono (P, t ). Anche nel piano e vi sono n centri 

 di fasci di rette della congruenza, e sono il punto Pi ed i punti Q, giacenti 

 sulle n generatrici in cui il piano e taglia il cono (P.J. 



« Consideriamo ora un piano qualunque y passante per P m . Esso taglia 

 la curva § del piano re in n punti B\, B' 2 . . . , B' n ad ognuno dei quali 

 corrisponde un punto infinitamente vicino a P, t , in una data direzione. 



a Indichiamo con b u b 2 , . . . b n le n rette di cr condotte per P,„ secondo 

 le direzioni corrispondenti rispettivamente a B\, B' 2 , B' n . I piani B\ b u 

 B' 2 bz, . . ., B' n b n sono piani w, su ciascuno di essi vi è un fascio di rette 



