— 97 — 



« Dall'ima o dall'altra di queste forinole risulta evidente che se una so- 

 luzione regolare u della nostra equazione Sì(u) = 0 si annulla sui tre piani 

 coordinati, è nulla dovunque e ne segue il teorema d'unicità : 



«Esiste una sola soluzione regolare della Sì(u) ----- 0 che 

 sui piani coordinati assume valori prefissati. 



a 



§ 5- 



« Come nel caso particolare considerato nella mia Nota precedente, e 

 in perfetta analogia col teorema di Darhoux ( l ) per il caso di due variabili, 

 sussiste anche qui per le soluzioni principali di una equazione e della sua 

 aggiunta una sorta di teorema di reciprocità, cioè: Se si considerano 

 due punti qualunque M , M' dello spazio e con u , v si indicano 

 rispettivamente le soluzioni principali della £ì{u) 0 e dell 

 sua aggiunta <D(v)~0, relativa la prima al punto M' la se- 

 conda al punto M, si avrà la relazione 



Um '~~ Vìi • 



« Per la dimostrazione supponiamo semplicemente M' nell'origine 0, 

 talché lungo gli assi coordinati la u soddisferà alle rispettive equazioni 



— -I— cìu = 0 , ~- ~j- bu = 0 , — r~ cu = 0 



e sui piani coordinati alle altre 



4- b — -4- c — 4- ceti — 0 

 c — + a — + §u=v 



~ò%7y "òy ~òcc 

 « Allora se ricorriamo alla forinola (B), facendone questa volta sparire 

 con integrazioni per parti le derivate della y, troviamo facilmente 



§ 6. 



« Non sarà inutile osservare che se in luogo della equazione omogenea 

 iì(u) = 0 si ha l'altra non omogenea 



Sì(u) = F {ss , y , s) , 

 essendo F un'assegnata funzione di w ,y ,s , e si vuole nuovamente integrare 



(i) Tome II, pag. 81. 

 Rendiconti. 1895, Voi. IV, 1° Sem. 



13 



