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in guisa che la u sui piani coordinati' assuma valori dati, i calcoli ver- 

 ranno in ciò solo modificati che si avrà 



— H 4- - — -— 3yP . 



dx mm n !>s ■ 



« Perciò, onde rendere la forinola (B), o la (B*), applicabile al caso 

 attuale, basterà aggiungere al secondo membro l'integrale triplo 



I v ¥(x , y , s) clx dy ds . 



o *Jo «->0 



k In particolare la soluzione u di iì{u) = F , che si annulla sui piani 

 coordinati è data semplicemente dalla forinola 



\ v F(x ,y,s) dx dy ds , 



0 <_/0 xJ 0 



essendo v il moltiplicatore principale relativo al punto (x 0 , y 0 , s 0 j. Da 

 questa soluzione particolare, si ottiene ogni altra soluzione aggiungendovi una 

 soluzione della equazione omogenea fì(u) = 0. 



« Benché non possa qui trovar posto la generalizzazione dei risultati 

 ottenuti al caso di n variabili, possiamo indicare fin d'ora in qual modo 

 tale generalizzazione si effettuerà. Essendo u una funzione incognita di n va- 

 riabili Xi , x-z , . . . x ìt , le equazioni da considerarsi avranno la forma : 



<l(u) = — f- ^ a- t — — '• — + > a ik - - - - 



ih 



+ X a ^^~ — \-a lz ... n u==o , 



i kj, 0X1 ... óX n 



i coefficienti <Zj , , - • • essendo funzioni date di Xi , x% , . . . x n e indi- 

 cando in generale 



il coefficiente di quella derivata (n — r) ma in cui si deriva una volta rispetto 

 a ciascuna variabile eccetto le r : 



k Allora per definire, la soluzione principale di ìl{u) = 0 , relativa per 

 esempio al punto Xi = 0 , x 2 = 0 . . . x n = 0 , procederemo nel modo seguente. 



« Separiamo da Sì{u) l'aggregato di quei termini che contengono una 

 determinata derivata r ma p. e. 



~ò r u 



^òXi^ ~òXu • . . ~iX; r 



