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«Per dimostrarla si osservi che per r=l, r = 2 sussiste certamente, 

 come subito si verifica; onde basterà, col solito metodo di induzione, conclu- 

 dere da r ad r+1. Perciò supponiamo verificata la (I) e passando al caso 



di r +1 variabili m .a?,.... à r -Vi, cangiamovi u in e integriamo ri- 



spetto a *^ da a r+1 a /W Se in ciascun integrale del 2° membro ese- 

 guiamo un'integrazione per parti rapporto a x r ^ e all'integrale che 

 allora vi figura : 



u ) dx x fx z ... dx r 



sostituiamo il valore che si trae dalla (I) stessa, ritroviamo la formola me- 

 desima cangiatovi r in r + 1. Così la nostra formola è dimostrata m generale. 



II. 



« Consideriamo ora una espressione lineare alle derivate parziali miste 

 d'ordine n della forma 



p - ( u) = ^ ^ 2 ... ^ n + 2: *• ... + Z- ... 



dove i coefficienti a h , «m,... sono funzioni finite e continue, nel campo a n 

 dimensioni delle variabili x, , x 2 ... x n che si considera, insieme alle loro deri- 

 vate parziali miste (*). Come nella Nota precedente definiamo come compo- 

 nenti di Sì(u) e indichiamo col simbolo Sìi%...i^ le espressioni che si otten- 

 gono da S>(u) nel modo seguente. Separiamo in Sì (u) l'aggregato dei termini 

 che contengono una determinata derivata r ma 



l> r u 



IsXii 1iXì. 2 ... ~ÒXi t 



(») Propriamente, perciò che segue, basta che il coefficiente a r indici a it i 2 ...i r am- 

 metta le derivate parziali miste rispetto alle variabili x r+1 ... % n fino all'ordine n—r. 



