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di seguito, si giungerà all'operazione A™, potenza (intera positiva) di A. È 

 chiaro che 



J^ra J^n __ A«+n 



« Si indicherà con 1 l'operazione identità, l'operazione C cioè tale che 



Ó(<p) = <p; 

 ne risulta per ogni operazione A 



AC = CA = A . 



« 6. Operazione inversa di A è una operazione A- 1 tale che se A(g>)=/', 

 sia A -1 (/) = tp , cioè tale che 



A- 1 A = 1 . 



« Da ciò il significato dell'operazione A™ anche per m intero negativo, 

 come pure l'eguaglianza 



A 0 = 1 . 



« In generale, anche se l'operazione A è ad un valore, la sua inversa 

 sarà a più valori. Basta a ciò che l'operazione A abbia qualche radice , 

 che esista cioè una funzione w(t) tale che sia A(w) 0 ; poiché se è A((p) =/, 

 sarà anche A(cp -\-oo)=f e l'operazione A- 1 (/) darà come risultato le fun- 

 zioni <p , 5p— (- <» , ed in generale <p -j- eco , essendo e una costante arbitraria. 

 Reciprocamente, quando l'operazione A- 1 ammette più determinazioni, la dif- 

 ferenza di due di esse è radice di A, cioè soluzione di A(y) = U. 



« L'operazione A- 1 è distributiva, nel senso che fra le determinazioni 

 possibili per k.- l (f-\- /\) si trova la somma di una qualunque delle deter- 

 minazioni di kr l (f) con una qualunque di quelle di A- l (/\). Ma se il campo 

 funzionale delle (? si limita opportunamente, potrà avvenire che anche l'ope- 

 razione A- 1 si riduca ad un valore ed allora vale senz'altro, per essa, la legge 

 distributiva ( 1 ). 



" 7. Essendo A un'operazione funzionale distributiva, si chiamerà derivata 

 funzionale di questa operazione e si indicherà con A' l'operazione definita da 



(2) A' (y).= A(*g>) — a:A(g>). 



C) Un esempio mi sembra opportuno a fare intendere in quale modo possa essere 

 fatta l'accennata limitazione del campo funzionale. L'operazione A sia tale che le sue 

 radici siano funzioni analitiche regolari entro il cerchio di centro t = 0 e di raggio r ; 

 è facile determinare una simile operazione A, prendendola p. e. sotto la forma del primo 

 membro di un'equazione differenziale lineare in t. Il campo funzionale in cui si prende cp 

 sia costituito dall'insieme delle funzioni analitiche regolari entro cerchi di centro t = 0 e 

 di raggi maggiori di r. Allora l'operazione A- 1 (/), se ha per una data f una determina- 

 zione nel campo funzionale indicato, ne avrà una sola, e per tali soluzioni A- 1 gode della 

 proprietà distributiva. 



