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« Indicando con C il prodotto dell'operazione A per B, cioè C — BA, 

 si avrà 



C = B'A -f BA' , 



cioè alla derivazione funzionale è applicabile il teorema di Leibniz. Sia infatti 

 A(y(0) = V(*) . B(xp{s)) = f(x); 



sarà C dato da 



BA (t<p (0) — ^BA (<p{t)) = B jA (t<p(t)) — *A (g>(0)j 

 + B(*«K*))— #B(y(s)), 



ossia 



(3) C = BA' + B'A . 



« In modo analogo si potrà definire la derivata seconda funzionale A" , 

 o derivata della derivata prima, e si troverà 



A"(y) = A' (tcp) — xk'(cp) = k(t 2 <p) — %xk\t<p) + a*£(g>) , 

 ed in generale la derivata funzionale n sima , che sarà data da 



(4) A (W) =A (f nxfA(t n - 1 cp)+ ( ? ) ^ A ( f '~ 2 5P) — •■ + ( — ^ x " A 



Essendo C = AB , si avrà 



C" =B"A + 2B'A'4-BA" 



ed in generale 



C c«) = B («) A _j_ A' -}- ^B ()8 - 2) A" -) h BA (W > , 



come per la derivazione ordinaria. 



« 8. Dalle relazioni (4) è facile di ricavare l'espressione di k(ty) in fun- 

 zione di k((p) e delle sue derivate, e si ottiene 

 f A(t<f) = xk (cp) + A' (cp) , 



(5) ì 



j A(r <p) = a» A + nx n ~ l A' + /j) ^ 2 A" H h A<*> . 



Sia ora una serie di potenze di i 



co 



7T = ^ c F , 



e si formi A(tt^) ; si avrà per le formule precedenti 

 À(wg>)= |a (F <p) = V c^> A + vx"-' A' + / *\a^« A" + •• + k M ) 

 ed ordinando per A , A' , A" , . . si ottiene formalmente il risultato 

 ■ (6 ) k(7v<p) = rtk(cp) + tt'A' (cp) + ^ à"(sp) + - + 7T A< " ) (») + - ' 



