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che si può riguardare, nel calcolo funzionale, come l'analogo del teorema di 

 Taylor nell'ordinaria teoria delle funzioni. 



« Bipetiamo che questo risultato è qui ottenuto come meramente for- 

 male ; per ogni singola operazione A sarà però sempre possibile di determi- 

 nare campi funzionali per 7r e 9, tali che in essi la formula precedente sia 

 effettivamente applicabile. 



« Da questa formula facendo (p — ] e cambiando n in y> , funzione 

 arbitraria, risulta l'altra 



(7) A(sO = A(l> + A'(1)|+A"(1)^ + - + A (v) (1) ^ 4- » 



analoga allo sviluppo di Maclaurin. Da essa risulta come ogni operazione di- 

 stributiva A sia, nel campo funzionale in cui è valida la formula precedente, 

 rappresentabile mediante una serie a coefficienti funzioni di % e procedente 

 per le derivate successive della funzione arbitraria <p. 



« 9. Veniamo ora a passare in rassegna alcune delle operazioni distri- 

 butive più semplici, ed applichiamo le cose dette alla ricerca di una pro- 

 prietà caratteristica per ciascuna di esse. 



« a) Moltiplicazione. — L'operazione che consiste nel moltipli- 

 care una funzione arbitraria <p di t per una funzione data u(t) , è evidente- 

 mente distributiva; la chiameremo col nome di moltiplicazione per fi(t) 0 

 semplicemente di moltiplicazione ; l'indicheremo poi con M„. quando vorremo 

 porre in evidenza la funzione moltiplicatrice, e quando ciò non sia necessario, 

 semplicemente con M. In questo caso la variabile x coincide con t. Le ope- 

 razioni M 0l M 02 , .... formano evidentemente un gruppo. La derivata di M sarà 

 W(yl==M(t(p) — tM(y>) 



e poiché M(g>) = /Mp , viene M' = 0. 



« Inversamente, se A è una operazione la cui derivata è nulla, sarà 



A (tg>) — x A ((/) = 0 , 



onde, posto A(l) = s{x) , risulterà 



A(t)=-xs{x) , A(r) = x n s(x) , 



e per una funzione (f(t) rappresentata da una serie di potenze di t, 



A((f{t)) = <p(x) e(x) ; 



l'operazione A non differirà quindi dalla moltiplicazione. 



« L'operazione M gode pure della proprietà che (MA)' = MA' , come 

 segue subito dal teorema espresso dalla (3). 



« b) Derivazione. — Indicheremo con D l'operazione di derivazione, 

 in modo che 



