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Applicando la (2), troveremo per derivata funzionale di D la 



D'(g>) = D (t(f) — tJ)((f) — (p; 

 talché si può scrivere D' = 1. La derivata seconda funzionale di D sarà zero. 



* Considerando il prodotto MD , si vede, applicando la (3), che la sua 

 derivata è la moltiplicazione M. 



« Se si cerca l'operazione A più generale la cui derivata seconda fun- 

 zionale sia zero, si trova senza difficoltà che essa è 



A = MD + M l5 



essendo M ed M x operazioni di moltiplicazione. 



«e) Forme differenziali lineari. — L'operazione 



F = M Bo + M ai D + M tt2 D 2 + - M a W , 



dove Oo , fli , • • a r sono funzioni date, si chiamerà forma differenziale lineare 

 dell'ordine r. Essa è manifestamente distributiva. Formando la derivata fun- 

 zionale di F per mezzo della (2), e notando che 



D'" (tcp) — t D m (<p) = m D m_I ((p) , 



si ottiene 



F' = M fl) + 2M 02 D -f 3M 0s D 2 -j \- r M 0r D r_1 . 



Perciò la derivazione funzionale delle forme differenziali lineari si eseguisce 

 colla stessa regola della derivazione ordinaria nelle funzioni razionali intere. 

 « Applicando alla F la forinola (6), si ottiene 



F (Ttcp) = n F (y) + n< F' (y) H h^T F(r) ^) ' 



la quale, sviluppata che sia, dà una identità che, sotto un'altra forma, è nota 

 fino dallo scorso secolo, e si trova spesso usata dal D'Alembert ( Théorie des 

 ventSj théorie de la lune). 



« Si noti che la derivata funzionale r + l sima di F è nulla. Eecipro- 

 camente, se si cerca una operazione A tale che A (r+1) sia nulla, si trova senza 

 difficoltà che A è una forma differenziale lineare dell'ordine r al più. 



« d) L'operazione 0. — Con 8 si rappresenta la operazione definita da 



Formandone la derivata funzionale, si ottiene 



6' = 0 , 



ossia l'operazione 6 ha per derivata funzionale sè stessa ( ! ). Reciprocamente 



d 



(i) In tutti i trattati si nota la formula simbolica edt per l'operazione 6 ; ossia, colle 

 nostre notazioni, 0 = e D . È notevole il fatto che a questa stessa espressione simbolica con- 

 ' duce la proprietà espressa da 6' = 6 , tenuto conto dell'altra ~D' — 1. 



