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T operazione più generale che abbia per derivata se stessa è la M0. Sia infatti 

 A' = A , ossia A(ty) — xA(y>) — - A((p) , 



posto A(l) = e(%) , ne risulta 



A(t) = (x + 1) s(x) , . . . A(r) - {x -f 1)" , 



e quindi, essendo 9>(£) una funzione presa in un campo funzionale conve- 

 niente 



A( 9 ) = *(x)<p (* + !>■ 

 « Per l'operazione 6° si ha 



= a ti a ; 



per l'operazione ^/ (differenza finita) si ha J' = 6 ; per la forma lineare alle 

 differenze 



M„ 0 + M ai &>+M aì 6>-\ f-M a , G 1 ', 



la derivata funzionale è 



M ltl 0 + 2M„ 2 0 2 H h rM ar 6'" . 



«e) La sostituzione. — L'operazione che consiste nel sostituire, in 

 una funzione arbitraria y di i, alla t una funzione data fi (t) , è evidente- 

 mente distributiva. La chiameremo col nome di sostituzione e l'indicheremo 

 con Sa o semplicemente S, secondo che sarà o no necessario di porre in evi- 

 denza la funzione ;i(t) che si sostituisce a t. Le operazioni S,,., , S„, 2 , . . . 

 formano evidentemente un gruppo. 



« Si ha 



S(gnp) - S(y) S(.V0, 



cioè l'operazione S è distributiva oltre che rispetto all'addizione, anche ri- 

 spetto alla moltiplicazione ; e questa proprietà è caratteristica per l'operazione S. 

 Infatti, se A è tale che A(<pip) = A(y) A(ip), ne risulterà, posto A(t) = co(x), 

 che A(t n ) = <o n (x) e quindi, essendo g>(t) serie di potenze di t, 



A((f(t)) = <p{w(x)) . 



k L'operazione S non può avere radici, onde segue che S -1 è pure ad 

 un valore. 



« La derivata funzionale di S y . è' data immediatamente da 

 S', = ( fl (t) — t) Su.; 

 onde l'operazione S soddisfa ad una relazione della forma 

 (8) S' = /S 



(!) Il campo funzionale è qui l'insieme delle funzioni regolari in un cerchio di centro 

 f = 0 e di raggio superiore all'unità. 



