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nel luglio del 1893 ('); e poco dopo (settembre-ottobre) esciva anche il 3° 

 volume della Theorie der Transformationsgruppen del sig. Lie, nella quale 

 (cfr. pp. 190-198) sono determinate tutte le superficie (dello spazio ordina- 

 rio) che ammettono un gruppo continuo almeno oo 3 di trasformazioni pro- 

 iettive, ed è anche accennata una via per fare l'analoga determinazione nel 

 caso di un gruppo co 2 . — In questa Nota io mi propongo di studiare le 

 superficie algebriche di uno spazio qualunque, che ammettono un gruppo 

 continuo (una o più volte infinito) di trasformazioni projettive ( 2 ), estendendo 

 le diverse considerazioni anche al caso di omografie con punti uniti multipli, 

 e completando così i risultati importantissimi già ottenuti (per lo spazio or- 

 dinario) dal sig. Enriques. 



« 1. Sia F una superficie algebrica appartenente a uno spazio S r , la 

 quale ammetta un gruppo continuo co 1 di trasformazioni projettive. Questo 

 gruppo si potrà ritenere generato da una determinata trasformazione infini- 

 tesima ( 3 ) , e si comporrà quindi di omografie aventi tutte gli "stessi punti 

 uniti (punti che potranno essere in numero finito o infinito, tutti distinti, 

 ovvero anche coincidenti in vario modo) ( 4 ). Le traiettorie dei singoli punti dello 

 spazio S r , e in particolare dei punti della superfìcie F, saranno Curve W( 5 ); 

 queste ultime contenute in detta superficie. La projettività (più generale) 

 che ha gli stessi punti uniti del gruppo in discorso, e che fa corrispon- 

 dere fra loro due punti qualunque P e P' dello spazio S r , muta anche la 

 traiettoria di uno di questi punti in quella dell'altro ( 6 ). Se questi due punti 

 stanno in particolare sulla superficie F , la stessa projettività (supposto che 



( x ) E inserta in quegli Atti, i IV, serie 7 a . Cfr. anche la Nota sullo stesso argo- 

 mento inserta nel successivo t. V (1893-94). 



( 2 ) Rimane quindi implicitamente compreso anche il caso di un gruppo misto di tras- 

 formazioni projettive (di un gruppo costituito cioè da un numero discreto di schiere con- 

 tinue di tali trasformazioni), perchè fra queste schiere certo una (e una sola) sarebbe di 

 per sè un gruppo (continuo) (cfr. Lie, op. cit., voi. Ili, p. 180; e anche voi. I, cap. 18). 

 Resterebbe solo da vedere quali fra i gruppi continui che a noi si presenteranno potreb- 

 bero essere opportunamente ampliati (enveitert). 



( 3 ) Infatti il gruppo delle trasformazioni projettive eli uno spazio qualunque, che 

 mutano in sè una data superficie contenuta in questo spazio, si compone evidentemente 

 di trasformazioni a due a due inverse, e contiene perciò la trasformazione identica. Se è 

 continuo, esso si potrà dunque generare con trasformazioni infinitesime (cfr. Lie, op. cit., 

 voi. I, p. 75); se è misto, vi sarà, fra le diverse schiere che lo compongono, un gruppo 

 fdi trasformazioni a due a due inverse) generabile in questo modo (loc. cit., pp. 315-16). 



( 4 ) I gruppi continui oo 1 di trasformazioni projettive dello spazio S,- furono già da 

 tempo ridotti ad alcuni tipi fondamentali, nei casi di r = l e r— 2 (cfr. Lie, op. cit., 

 voi. Ili; opp. Lie-Scheffers, Vorlesungen ilber continuirìiche Gruppen ... ; Leipzig, 1893). 

 Per r = 3, la riduzione (a 13 tipi) fu data recentemente dal prof. Pittarelli (Ann. di Mai, 

 ser. 2 a , t. XXII), 



(5) Cfr. Klein-Lie, Compi Rencl, t. LXX (1870); e Math, Ann., voi. IV, p. 50-84. 



( 6 ) Cfr. Klein-Lie, Compi Rencl, t. LXX, p. 122G. 



