muti precisamente P in F) dovrà mutare P in una superfìcie algebrica con- 

 tenente la traiettoria di P\ Ma se le diverse traiettorie sono curve trascen- 

 denti, se cioè è trascendente il gruppo oo 1 proposto (secondo la denomina- 

 zione usata dal sig. Enriques : Mem. cit., p. 5) è chiaro che nessuna di queste 

 curve potrà stare su due diverse superficie algebriche; epperò la projettività 

 considerata dovrà anch'essa mutare P in sè medesima. E poiché i punti P e 

 P' sono affatto arbitrari, se ne trae facilmente che: 



« Se una superficie algebrica (appartenente a uno spazio qualsiasi) 

 ammette un gruppo continuo oo 1 trascendente di trasformazioni projet- 

 tive.. essa ammetterà anche un intero gruppo transitivo co 2 di tali trasfor- 

 mazioni, tutte fra loro permutabili {aventi cioè gli stessi punti uniti di 

 quel gruppo oo 1 ). 



« 2. Nello spazio S 3 , queste superficie sono superficie W di Klein-Lie 

 (Compt. Rend., t. LXX). In uno spazio superiore S„ sarebbero superficie 

 projettantisi in queste da ogni S,_ 4 che sia unito per le oo 2 omografìe. Ma se 

 le traiettorie considerate poc' anzi sono effettivamente trascendenti, queste su- 

 perficie non potranno essere algebriche che nel solo caso in cui i punti uniti 

 siano tutti distinti (o meglio, formino un gruppo appartenente allo spazio S,- 

 — non contenuto cioè in uno spazio inferiore — ) ( ] ). 



« D'altra parte, se il gruppo oo 1 proposto è algebrico, se sono cioè 

 algebriche, quindi razionali, le diverse traiettorie, la superficie F conterrà 

 un fascio di curve razionali (senza però che sia necessariamente razionale 

 il fascio). Ma se i punti uniti delle oo 1 omografie sono in numero finito, 

 essi saranno o ancora tutti distinti (e indipendenti), oppure tutti coincidenti 

 (e le traiettorie saranno in quest'ultimo caso curve normali di ordine r); se 

 vi sono infiniti punti, e quindi anche infiniti iperpiani e spazi inferiori uniti, 

 bisognerà ancora che i diversi spazi di punti uniti o siano tutti distinti (e 

 perciò indipendenti), oppure a due a due si appartengano (ciascuno di essi 

 contenga cioè quelli di dimensione inferiore, e sia contenuto in quelli di dimen- 



(!) Infatti, per r=3, i sigg. Klein e Lie hanno osservato (Compi Eend., t. LXX, 

 p. 1223) che le equazioni di queste superficie si ottengono collo stabilire un'equazione 

 lineare fra certe funzioni delle coordinate, caratterizzate dal comportarsi additivamente 

 rispetto alle omografie del gruppo oo 2 , e che sono o funzioni algebriche, o logaritmi di 

 tali funzioni (e precisamente di rapporti fra quelle funzioni lineari che, eguagliate a zero, 

 rappresenterebbero le facce del tetraedro unito). L'equazione risultante non potrà dunque 

 essere algebrica che quando dette funzioni siano o tutte algebriche, o tutte logaritmi. Ma 

 nel primo di questi due casi le traiettorie dei diversi sottogruppi oo 1 si trovano essere 

 curve algebriche, e precisamente cubiche sghembe, coniche, o rette (cfr, Pittarelli, 1. e, § 2. 

 nn. 5,9,11,13), mentre il secondo caso si presenta appunto quando vi sono quattro punti 

 uniti distinti e indipendenti. E se r>3, dovrà presentarsi il caso analogo per tutte le 

 omografie subordinate nelle forme co* di iperpiani che hanno per assi i di versi S r - t 

 uniti, sicché qui pure si verificherà quanto sopra abbiamo asserito. 



