— 152 — 



sione superiore — e, in particolare, coincida con quelli di eguale dimen- 

 sione — ) ('). 



« ^Riassumendo dunque, abbiamo : / soli gruppi continui proiettivi sem- 

 plicemente infiniti di uno spazio S,-, che possono trasformare in sè stessa 

 una superficie cclgebrica appartenente a questo spazio, sono quelli in cui 

 i diversi spasi di punti uniti (o in particolare i diversi punti uniti, se 

 questi sono in numero finito) sono tutti indipendenti (distinti — formano cioè 

 un sistema appartenente ad S r — ), oppure a due a due si appartengono 

 (sono tutti coincidenti). In quest'ultimo caso il gruppo è certamente alge- 

 brico ; nel primo caso può essere trascendente, ma allora la superficie 

 ammetterà tutto un gruppo transitivo co 2 di omografie permutabili. 



« Queste superfìcie con co "- trasformazioni projettive in sè stesse si po- 

 tranno projettare su di ogni S 3 , che sia unito per dette trasformazioni, in 

 superfìcie di equazione: 



<2? 2 a 2 «r 3 a 3 xfi = Cost. 



dove «! -j- «2 + «3 -j- «4 — 0, e i diversi esponenti « sono proporzionali a 

 numeri interi (e si possono ritenere anzi essi stessi interi). Dette superfìcie 

 sono anche razionali (cfr. Enriques, 1. e, pp. 13 e 33). 



« Invece sulle superfìcie con un gruppo algebrico co 1 di trasformazioni 



(!) Se i punti uniti sono in numero finito (e le traiettorie appartengono perciò allo 

 spazio S r ) questo segue dalle note proprietà delle curve razionali con infinite trasforma- 

 zioni projettive in sè stesse (cfr. ad es. la mia Nota, Sopra certe curve razionali ; 



questi Eend. p. 51 e seg.). Se invece letrajettorie sono contenute in spazi inferiori S k (A'<r), 

 bisognerà analogamente che in ciascuno di questi S& vi siano punti uniti o tutti 



distinti (e indipendenti) , o tutti coincidenti. Nel primo caso, al variare dello spazio S*,, 

 varieranno alcuni almeno dei k-\-l punti doppi in altrettanti spazi di punti uniti; e il 

 gruppo di questi stessi spazi, compresi eventualmente quei punti fra i /e -j- 1 che risul- 

 tassero fissi, dovrà certo appartenere allo spazio S,-, . perchè, se fosse contenuto in uno 

 spazio inferiore, in questo dovrebbe anche esser contenuta la varietà costituita dagli oo 1 

 spazi S;t, e quindi la superficie F, la quale invece si è supposta appartenere allo spazio S,.. 

 Se invece in ogni S^ i A + l punti doppi coincidono (le trajettorie sono quindi curve nor- 

 mali di ordine k), per le diverse posizioni di quest'unico punto unito (forse variabile da un 

 S* all'altro) passerà un sistema di spazi di punti uniti, che a due a due si apparterranno; 

 ma non potrà all'infuori di questi esservene nessun altro, perchè se no la varietà degli oo 1 

 spazi Sk sarebbe contenuta nello spazio conjugato di quest'uno, e non potrebbe quindi 

 la superficie F appartenere ad S r . L'equazione (di grado r-\-ì), che si ha eguagliando 

 a zero il determinante caratteristico di un'omografia generale del gruppo, dovrà dunque 

 esser tale che ogni sua radice annulli anche i minori di ordine r— h-\-2 di questo 

 determinante, oppure dovrà avere essa stessa una sola radice {r-\- l)P la . Per la stessa 

 omografia generale, il simbolo di Segre (Meni, di quest'Acc, ser. 3 a , voi. XIX) sarà costi- 

 tuito o da sole cifre 1, o da cifre qualunque riunite in un sol gruppo; quello di Predella 

 (Ann. di Mai, ser, 2 a , t. XVII) da cifre qualunque, ma non riunite a gruppi, oppure anche 

 tutte riunite in un sol gruppo. 



