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projettive le trajettorie saranno curve razionali, su ciascuna delle quali sa- 

 ranno noti razionalmente uno o (ciascuno di) due punti : i punti uniti comuni 

 alle oo 1 projettività su di esse. (Anzi, se le collineazioni considerate in S r 

 non hanno infiniti punti doppi, questi punti saranno gli stessi per tutte le 

 trajettorie). In forza dei risultati ottenuti dal sig. Noether (*), queste su- 

 perficie saranno dunque riferibili birasionalmente a superficie rigate, o in 

 particolare a coni (se già esse non sono tali) ( 2 ). Concludiamo perciò: 



« Le superficie algebriche che ammettono un gruppo continuo co 1 

 di trasformazioni proiettive sono tutte razionali, rigate, o riferibili a 

 rigate ( 3 ). 



« 3. Passiamo alle superficie (algebriche) con un gruppo continuo co 2 di 

 trasformazioni projettive. Anche a queste si applicherà naturalmente il ri- 

 sultato testé ottenuto per le superficie con un gruppo oo 1 di tali trasforma- 

 zioni. In particolare dunque, queste superficie saranno certo razionali, se fra 

 le oo 2 trarformazioni ve ne sono oo 1 formanti un (sotto)gruppo trascendente. 

 Che se poi i sottogruppi oo 1 sono tutti algebrici, e il gruppo proposto si sup- 

 pone transitivo, la rigata a cui la superficie potrebbe riferirsi (se già non è. 

 tale) conterrebbe, oltre le generatrici, infinite curve razionali, e sarebbe 

 perciò essa stessa razionale. Dunque: 



« Le superficie algebriche con un gruppo continuo transitivo (due o 

 più volte infinito) di trasformazioni projettive in sè stesse sono tutte 

 razionali ( 4 ). 



(1) Cfr. la Mena.: Ueber Flàehen toelche Schaaren rationcder Curven besitzen (Matti. 

 Ann., voi. Ili, p. 161-227). 



(2) Ad es., se le trajettorie sono curre razionali normali, e le co 1 projettività su di 

 esse hanno i due punti doppi coincidenti, basterà costruire una rigata le cui generatrici 

 siano riferibili biunivocamente al sistema delle stesse trajettorie (il che è possibile in in- 

 finiti modi), e projettare poi ciascuna trajettoria sulla generatrice corrispondente da uno 

 spazio osculatore di opportuna dimensione nell'unico punto unito. 



(3) Per lo spazio ordinario, e nel caso di omografie coi punti uniti distinti, questo 

 stesso risultato era stato ottenuto appunto dal sig. Enriques (Meni, cit, pp. 13-15). 



( 4 ) Le superficie di uno spazio qualunque S r con gruppo intransitivo, due o più 

 volte infinito, di trasformazioni projettive contengono come trajettorie un sistema oo 1 di 

 curve razionali normali, appartenenti, come è facile riconoscere, a spazi inferiori (perchè 

 le omografie di un sottogruppo oo 1 generico devono avere certo infiniti punti doppi, quindi 

 anche infiniti iperpiani uniti, nei quali le singole trajettorie dovranno esser contenute). 

 Nello spazio S s queste superficie si riducono ai soli coni (i quali ammettono un gruppo co 4 

 di omologie, gruppo che è appunto intransitivo) e alle quadriche (che ammettono due 

 gruppi intransitivi oo 3 di trasformazioni projettive, ciascuno dei quali muta in sè stesse 

 tutte le generatrici di un dato sistema — va da sè però che questi due sono contenuti in 

 uno stesso gruppo più ampio (co 5 ) e transitivo—)' Nell ° s P azio s * vi è ad es - lari S ata 

 cubica, che ammette un gruppo intransitivo co 3 di omografie aventi in generale il simbolo 

 [(11) (111)] secondo Segre, ovvero [12] secondo Predella; e così via. E dalle rigate si pos- 

 sono anche ottenere altre superficie che ammettono un gruppo intransitivo di omografie, 



