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« Fermiamoci ora sul caso di sole oo 2 trasformazioni proiettive. Se 

 i punti uniti di queste omografie sono tutti fissi (le omografie quindi fra 

 loro permutabili) avremo, nello spazio ordinario, le superficie W di Klein-Lie ; 

 negli spazi superiori, superficie di cui queste possono considerarsi come 

 proiezioni. Ma abbiamo già veduto (cfr. la l a nota al n. 2) che, fra le pos- 

 sibili disposizioni dei punti uniti, non vi sono che alcuni casi determinati, 

 in cui queste superficie possono essere algebriche 



« Se invece qualcuno dei punti uniti (che supporremo per il momento 

 in numero finito) è variabile, esso descriverà una certa linea, trasformata in 

 sè stessa dalle oo 2 omografìe del gruppo proposto (quindi una retta, o una 

 curva razionale normale di ordine .<r( 2 ) — supposto che si tratti di super- 

 fìcie appartenente a uno spazio S r — ); e quel punto sarà in ogni sua posi- 

 zione unito per le omografie di un sottogruppo oo 1 contenuto nel gruppo pro- 

 posto. Ma, se questo sottogruppo è trascendente, la superficie considerata, 

 supposta algebrica, dovrà ammettere tatto un gruppo oo 2 di omografie per- 

 mutabili, con quegli stessi punti uniti; complessivamente dunque, infiniti 

 gruppi oo 2 formanti una serie continua, e perciò almeno oo 3 trasformazioni 

 projettive. Volendo dunque restare nel caso di sole oo 2 omografie, ciascuno 

 di quei sottogruppi oo 1 dovrà essere algebrico, e avrà perciò i punti uniti o 

 tutti distinti, o tutti coincidenti. Ma anche quest'ultimo caso è da esclu- 

 dersi, perchè uno almeno dei punti uniti deve essere fisso (e allora si ri- 

 cadrebbe nel caso dei punti uniti fissi, tutti coincidenti) ; rimane dunque il 

 solo caso dei punti uniti distinti. 



« Nessuna difficoltà poi nel easo in cui vi siano, per ogni trasforma- 

 zione del gruppo, infiniti punti uniti (omografìe assiali, ecc.). Se i punti 

 uniti variabili sono isolati, si può ripetere ancora lo stesso ragionamento. 

 Se invece vi è un S 7; di punti uniti variabile, esso descriverà una serie ra- 

 zionale oo 1 di 8», sulla quale le oo 2 omografie del gruppo opereranno come 

 sui punti di una curva. Vi dovrà dunque essere un S; ; unito fisso, comune 

 alle oo 2 trasformazioni, e distinto perciò (in un' omografia generale) da quello 



applicando ad esse trasformazioni birazionali, le quali mutino il gruppo di omografìe rela- 

 tivo alla rigata in un gruppo di omografie dello spazio a cui appartiene la nuova superficie 

 (e per questo è necessario e sufficiente che le omografie considerate nel primo spazio 

 mutino in sè stesso il sistema lineare di curve segato sulla rigata dalle varietà che cor- 

 rispondono agli iperpiani del secondo spazio). 



(!) E notevole, nello spazio ordinario, il caso di un solo punto unito (quadruplo); 

 troviamo allora la rigata cubica colle due direttrici rettilinee infinitamente vicine (cfr. 

 Klein-Lie, Compi Rend., t. LXX, p. 1224). Sappiamo però che questa superficie (rigata 

 di Cayley) ammette tutto un gruppo oo 3 di trasformazioni proiettive (cfr. Lie, op. cit., voi. Ili, 

 p. 196; Enriques, Atti Ist. Yen., ser. T, t. Y). 



( 2 ) E su questa , retta o curva razionale vi dovrà sempre essere anche un punto unito 

 fisso, comune cioè a tutte le co 2 omografie (cfr. Enriques, Mem. cit., p. 18). 



