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variabile ; e ciò richiede appunto (i sottograppi co 1 dovendo qui pure essere 

 algebrici) che il sistema di tutti i punti uniti appartenga allo spazio S r 

 (cfr. n. 2). 



« Concludiamo dunque : Se una superficie algebrica appartenente a uno 

 spazio qualsiasi ammette un gruppo co 2 (e non più) di tras formazioni 

 projettive a punti uniti variabili (ovvero anche: se ammette un gruppo co 2 

 di trasformazioni proiettive, e non è una superficie W o una delle super- 

 ficie analoghe negli spazi superiori) , un omografia, generale di questo gruppo 

 dovrà sempre avere i punti doppi lutti distinti (o, più generalmente, il 

 gruppo costituito da questi punti doppi, in numero finito o infinito, dovrà 

 sempre appartenere allo stesso spazio della superficie proposta). 



« Il solo caso possibile è dunque l'analogo di quello che il sig. Enriques 

 ha già trattato per r = 3, e non sarebbe difficile estendere le sue conside- 

 razioni a uno spazio superiore qualsiasi (vi sarebbe solo, naturalmente, un 

 numero corrispondentemente maggiore di casi da esaminare) {}). Per r = 8 

 quindi, tutte le superficie algebriche con (sole) co 2 trasformazioni projettive 

 rientrano nelle categorie seguenti (Mem. cit, p. 44): 



a) Superficie di Klein- Lie ; 



b) Rigate {di ordine .> 4) con due direttrici rettilinee infinitamente 



vicine ; 



c) Superficie contenenti un fascio di coniche, segate dai piani per 

 una retta ; 



d) Superficie di 6° ordine a sezioni ellittiche, rappresentabili sul 

 piano con un sistema lineare di cubiche aventi a comune un flesso e la re- 

 lativa tangente. 



« 4. Le superficie dello spazio ordinario con co 3 o più trasformazioni 

 projettive sono state già determinate tutte nell'op. cit, del sig. Lie e nella Me- 

 moria del sig. Enriques (compresa la Nota successiva cit.). Astrazion fatta dal 

 piano e dai coni (che ammettono tutti almeno co 4 trasformazioni omologiche), 

 non vi sono che le tre superficie seguenti: 



a) Sviluppabile {di 4° ordine) circoscritta a ima cubica sghemba; 



b) Rigata cubica di Catjley ; 



entrambe con co 3 trasformazioni projettive ; e infine : 



(!) Bisognerebbe perù limitarsi, per il momento, alle sole superficie algebriche, 

 mentre le ricerche del sig. Enriques, nel caso di almeno co 2 trasformazioni projettive, 

 comprendono anche le superficie trascendenti. Però il gruppo oo 2 di omografie che si con- 

 sidera deve sempre avere qualche punto unito fisso, e da questo punto (o dal sistema di 

 questi punti) la superficie proposta si potrà projettare in altra di uno spazio inferiore, che 

 ammetterà pure oo * trasformazioni projettive. E questa considerazione, che qui non intendo 

 sviluppare, ma che certo deve riescire assai utile, permetterebbe di comprendere nella ri- 

 cerca anche le superficie trascendenti (prendendo le mosse dai casi già noti nello spazio 

 ordinario). 



