c) La quadrica (superficie di 2° ordine), con co 6 trasformazioni 

 projettive in sè stessa. 



« Per uno spazio qualunque S r la ricerca analoga riescirebbe piuttosto 

 lunga, essendo molti i casi che possono presentarsi. Così p. e. è chiaro, che 

 le diverse superficie rappresentabili sul piano col sistema lineare di tutte le 

 curve di un dato ordine qualsiasi, devono ammettere tutte un gruppo con- 

 tinuo co 8 di trasformazioni projettive. 



« Abbiamo veduto però (cfr. n. 3) che ogni superficie algebrica, la quale 

 ammetta un gruppo continuo transitivo di trasformazioni projettive, si può 

 rappresentare sul piano ; e in questa rappresentazione le sue sezioni piane da- 

 ranno luogo a un sistema lineare di curve algebriche, che verrà trasformato in 

 sè stesso da un certo gruppo continuo di trasformazioni Cremoniane. Inver- 

 samente, ogni sistema lineare almeno co 3 di curve algebriche piane, che sia 

 unito rispetto a un gruppo continuo di trasformazioni Cremoniane, potrà as- 

 sumersi come rappresentante di una superficie algebrica (razionale) con un 

 gruppo continuo di trasformazioni projettive in sè stessa. 



« Il sig. Enriques ha dimostrato (') che i gruppi continui di trasforma- 

 zioni Cremoniane (dipendanti da un numero finito di parametri) possono ri- 

 dursi birazionalmente a uno dei tipi seguenti: 



1°) Gruppo co 8 delle omografie, e suoi sottogruppi; 



2°) Gruppo co 0 delle trasformazioni quadratiche che mutano in sè 

 due fasci di raggi (ovvero: gruppo delle inversioni rispetto ai circoli del 

 piano), e suoi sottogruppi; 



3°) Gruppo co"+ 5 (con n arbitrario) delle trasformazioni di Jon- 

 quières (d'ordine n) che mutano in sè il sistema lineare co " +1 delle curve 

 d'ordine n con impunto base (n — l) 1 ' 10 e le n — l tangenti fisse , e suoi 

 sottogruppi. 



« Possiamo dunque dire, in generale, che ogni gruppo continuo transi- 

 tivo di trasformazioni projettive, il quale muti in sè stessa una superficie 

 algebrica, deve essere simile a un gruppo di omografie nel piano, oppure 

 a un gruppo di omografie che muta in sè stessa una quadrica dello spazio S 3 , 

 o un cono razionale normale di uno spazio qualsiasi. 



« Fra questi gruppi, quelli che rientrano nei primi due casi sono già 

 stati tutti assegnati e più volte studiati. Del gruppo 3°) (gruppo co " +5 di 

 trasformazioni di Jonquières) lo stesso sig. Enriques ha assegnata la com- 

 posizione in una Nota successiva ( 2 ) , dimostrando in particolare ch'esso 

 contiene tre (e tre soli) sottogruppi eccezionali (di cui uno co n+2 composto 

 di sole omologie, e un altro oo» +1 composto di sole omologie speciali) « . 



(1) Cfr. questi EemL, voi. II, 1° seni,, p. 468. 



(2) Ibid., p. 582. 



