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« 2. Moltiplichiamo perciò i primi membri delle (1) per n funzioni 

 Ui u 2 .... u n e quindi sommiamo per tutti i valori dell' indice i. Avremo 



(2) 2_ u i -x -, T" a ik u ì ~Z 2~ hit Ui — -f- 2— dhUiZn = 0. 



i òX ày i)c ÒX ik òy He 



« Se si cerca di porre il primo membro delle (2) sotto la forma 



(3) '^ + ^ 



dove M ed N sono funzioni lineari omogenee delle & , — - , — 



~òx ~òy 



M = Z(ftf + r|; N = Z(« i |f+-^ i ) 



si trovano come condizioni necessarie e sufficienti 



(4) «i + ^ = ui \ Yi + ~ = X «*« M ft 5 ^ + ^ = H hi u h ; 



<)y k ÒX k 



Prendendo in particolare a t = pi = -i- ^ , si ha 



K = X au u h - - — ; rf, = ^_ bn u n - - — . 

 e l'ultima delle (4) dà per le il sistema di equazioni lineari 



(5) ^ - ? ^ - ? + f - u - v) Mft = 



e corrispondentemente si hanno per M ed N i valori 



\ M = 2_ a n u-kZi + -77 2_ ( Ui Si — ) 



} ~ 2 * V / 



( - 5^*+ T? (*>S-*0 i - 



« Il sistema (5) si dirà l'aggiunto del sistema (1) : come è chiaro dal 

 modo di costruzione, la relazione tra i due sistemi (1) e (5) è involutoria; 

 uno dei due sistemi (1) e (5) è l'aggiunto dell'altro. 



« 3. Applichiamo . queste formule ad una nuova dimostrazione del 1° teo- 

 rema. Sia perciò A il punto in cui si vogliono calcolare gli integrali $ e 

 ABC il triangolo curvilineo che si ottiene conducendo dal punto A le paral- 

 lele AB, AC agli assi x ed y fino ad incontrare la curva C. 



« Se le funzioni Zi soddisfano alle (1) e le u% sono un sistema integrale 

 particolare delle (5), sarà 



f (Mtfy — mx) = Cwéy+ \(M.dy — Ncfo?) — C^dx = 0. 



