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« Alcune altre formole, affini alla (1), sono qui dimostrate. 

 « I. L'equazione I si può trasformare nella 



dalla quale, ponendo U = K 2 (/c), e rammentando che è 



rf 2 K / 3 WK 1 

 ^(1-0^(1-29^—16^ = 0, 



Jk 2 (A) = ? K 2 (k) - 16 ; 2 (1 - 0 (^Y + cosi 



si ricava 



e in conseguenza 



t,2 



a * K 2 ^ j/ l— j/l— ^ # f= a 8 K 2 (e) — 4 [E (tf) — (1 — e 2 ) K (e )J (2) 



ove è 



« 2. Ora posto 



y>(a)=\ K(t)ì/a 2 — t 2 dl, 



si ha, in forza della (1), 



<^) = flK 2 (j/l ~t/T^ ), 



dalla quale e dalla (2) risulta 



j 0 K (a*) ^1-^ = I K 2 (*) - | [E - (1 - c 2 ) K (*)] 2 (3) 

 e in particolare 



j o K ^ 1/T=»> = \ K 2 - 8E? TTX (3') 



« 3. L'equazione differenziale 



a; (1 — « 2 ) y" + (1 — 3 x 1 ) y — xy = 0 

 soddisfatta dalla K(x), si può mettere nella forma 



j yx pdx = x{l — x 2 ) {ytì' — y'6) -j-cost. II 

 in cui 6 significa una funzione arbitraria, ed è 



xp = x ( 1 — x 2 ) 0 " + (1 — Sx 2 ) b' — xd. 



