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si ottiene facilmente 



x „ , ^ , tt kr sena ^ 



, , , ■ K (ax) dx = 0 

 e in particolare 



« Perciò dalla (6) risulterà 



^ / 1.3... (2r — 1)V tt 2 



p(l-^) 2 g(^)^ --( 2.4 ...2r ) T 



(8) 



Matematica. — *SW/é equazioni differenziali lineari del 4° 

 ordine, che definiscono curve contenute in superficie algebriche. 

 Nota di Gino Fano, presentata dal Socio Cremona. 



« 1. Dopo aver trattato in due Note precedenti (') il caso di un' equa- 

 zione differenziale lineare (omogenea) di ordine qualunque n, tale che un si- 

 stema di integrali indipendenti di essa y x , y 2 , . . . y n soddisfacciano a un certo 

 numero (> n — 2) di equazioni algebriche rappresentanti complessivamente 

 una curva nello spazio S„_i delle coordinate (projettive) omogenee yi, mi 

 propongo di studiare adesso il caso in cui le stesse equazioni algebriche (che 

 si dovranno supporre in numero > n — 3) rappresentino una superficie di 

 quello spazio; il caso cioè in cui la curva r definita dall'equazione differen- 

 ziale proposta ( 2 ), pur essendo trascendente ( 3 ), è contenuta in una super- 

 ficie algebrica. In questa prima Nota (e in un' altra successiva) mi occu- 

 però soltanto delle equazioni differenziali lineari del 4° ordine (S„_! = S 3 ), 

 supponendo perciò che quattro soluzioni indipendenti y x , ,y. 2 , y 3 , y A siano le- 

 gate da una (ed una sola) equazione algebrica. Per le equazioni differenziali 

 di ordine superiore al quarto mi propongo anche di esporre alcune conside- 

 razioni generali, che formeranno probabilmente oggetto di una terza Nota. 



u. Questo caso che qui mi propongo di studiare non è ancora stato trat- 

 tato sistematicamente (eh' io sappia almeno) in modo completo (nemmeno pel- 

 le equazioni differenziali di 4° ordine ( 4 ) ). In Francia, Goursat e Halphen 



(1) Cfr. questi Eend., pp. 18-26 e 51-57. 



(2) loc. cit., p. 19. 



( 3 ) E tale possiamo supporla, perchè, se fosse algebrica, si ricadrebbe nel caso già 

 trattato nelle mie due Note citate. 



( 4 ) Per le equazioni differenziali lineari di 3° ordine non si può nemmeno porre la 

 questione analoga, perchè l'esistenza di una sola equazione algebrica fra le soluzioni 

 2/u 2/2» .Va richiederebbe già che fosse algebrica la stessa curva r. 



