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hanno studiato in alcune Note (Compt. Rend. t. XCVII, C, CI; Bull. Soc. 

 Math. de Fr., t. XI) il caso in cui la superfìcie algebrica contenente la curva r 

 è una quadrica, oppure la sviluppabile biquadratica circoscritta a una cubica 

 sghemba; e del primo di questi casi Halpben si è occupato anche più a lungo 

 nella Memoria : Sur les invariants des équations différentielles Unéaires du 

 4 me ordre ( Ac ta Math., voi. Ili, p. 325-380). In Germania, Ludw. Schlesinger 

 (Diss. Berlin, 1887) si era proposta la stessa nostra questione (sempre pel- 

 le equazioni differenziali di quarto ordine) in modo abbastanza generale ; ma 

 solo in alcuni casi particolarissimi (quelli stessi trattati dai due matematici 

 francesi, e quello lei cono) gli riuscì di giungere a un risultato soddisfa- 

 cente. (') Io tratterò invece la questione da un punto di vista completamente 

 geometrico, e mi varrò soprattutto dei risultati sulle superficie algebriche 

 con infinite trasformazioni proiettive in sè stesse, che il Sig. Enriques ha 

 ottenuti nella sua Memoria (e Nota successiva) inserte negli Atti dell' Ist. 

 Veneto, serie 7 a , t. IV e V, e che da me furono completati recentemente 

 colla considerazione delle omografie a punti uniti multipli (cfr. questi Rend., 

 p. 149). Che queste superficie appunto debbano comparile nelle nostre ricer- 

 che, è chiaro, perchè le diverse operazioni contenute nel gruppo monodromico 

 dell'equazione differenziale proposta daranno altrettante omografie trasformanti 

 in sè stessa la superficie algebrica (unica), in cui la curva r (supposta tra- 

 scendente) deve essere contenuta. 



« 2. Sia data un' equazione differenziale lineare (omogenea) del 4° ordine: 



• y™ -f A., y'" + A, y" + A 3 y' + A 4 y = 0 



priva di punti singolari essenziali (irregolari), i cui coefficienti si suppon- 

 gono funzioni algebriche di una variabile indipendente x, e precisamente tutte 

 funzioni razionali di uno stesso ente algebrico (o superficie di Riemann) di 

 genere qualunque. Si supponga inoltre che quattro integrali indipendenti 

 y u . . y± di quest' equazione differenziale siano legati da una equazione algebrica 

 (omogenea) a coefficienti costanti (di grado superiore al primo) ; vale a dire che, 

 interpretate le y { come coordinate (proiettive) omogenee di un punto (y) dello 

 spazio ordinario, la curva r descritta da questo punto al variare della x sia 

 contenuta in una superficie algebrica P. 



* Se il grappo monodromico dell' equazione differenziale proposta è finito 

 (non contiene cioè che un numero finito di operazioni), le iji saranno an- 

 ch' esse funzioni algebriche della x (senza essere tuttavia, in generale, fun- 



(!) Mentre questa nota era in corso di stampa, avendo avuta occasione di sfogliare 

 alcuni volumi delle Memorie di questa illustre Accademia, mi sono accorto che di alcune 

 questioni, fra quelle di cui vado ora occupandomi, è fatto anche cenno, sempre da un 

 punto di vista puramente analitico, in taluni lavori del prof. D. Besso, inserti nei vo- 

 .lumi XIV e XIX di dette Mem. (ser. 3 a ). Cfr. ad es., per il caso di una curva r conte- 

 nuta in una quadrica, la Memoria a pp. 219-231 del voi. XIX cit, 



