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zioui razionali dello stesso ente algebrico primitivo). Se questo gruppo è in- 

 finito, potranno ancora le yi differire da funzioni algebriche solo per uno stesso 

 fattore comune a tutte (e che dovrà comportarsi moltiplicativamente sopra ogni 

 superficie di Riemann, sulla quale dette funzioni algebriche risultino razio- 

 nali ( 1 )). In ogni altro caso la superficie F dovrà certo ammettere infinite 

 trasformazioni proiettive in sè stessa. 



« Ora, il gruppo di tutte le trasformazioni proiettive della superficie F 

 in sè stessa è necessariamente algebrico ; e perciò, se contiene un numero 

 infinito di operazioni, è certamente continuo, o misto. In quest'ultimo caso 

 esso si comporrà di un numero finito di schiere continue, una delle quali sarà 

 di per sè un gruppo (continuo) ( 2 ). Ma, se il gruppo monodromico dell'equa- 

 zione differenziale proposta contiene a sua volta operazioni di un certo numero 

 k^>l di queste schiere (e potranno anche non essere tutte, purché queste k 

 formino di per sè un gruppo), noi potremo passare dalla superficie di Riemann 

 data ad una seconda in corrispondenza (k, 1) colla prima, sulla quale (seconda) 

 i coefficienti A,- siano ancora funzioni razionali, e, di più, i diversi cammini 

 chiusi corrispondano soltanto a sostituzioni lineari delle y,-, quindi a trasfor- 

 mazioni projettive della superficie F, contenute in quella delle k schiere, che 

 è di per sè un gruppo (continuo) ( 3 ). A questa separazione delle k schiere 



(!) Cfr. anche questi Kend., p. 25. È chiaro però che in questi due casi la curva T 

 risulterebbe essa stessa algebrica. 



( 2 ) Cfr. Lie, Theorie der Transfòrmationsgruppen, voi. I, cap. 18; voi. Ili, p. 180. 



( 3 ) Basta perciò ricordare (cfr. Lie, op. cit., voi. I, p. 321-22) che le operazioni di 

 un gruppo misto G si ottengono moltiplicando quelle del gruppo continuo più ampio G' 

 in esso contenuto per un certo numero (nel nostro caso k, l'identità inclusa) di altre ope- 

 razioni (soddisfacenti a determinate condizioni, che qui non starò a ripetere). D'altra parte 

 sappiamo che il gruppo monodromico dell'equazione differenziale proposta ammette un certo 

 numero 2p -\-m di operazioni (sostituzioni lineari) generatrici, che si possono far corrispon- 

 dere ai 2p tagli canonici, ritenuti ad es. uscenti tutti da uno stesso punto, e a certe linee 

 che congiungono quest'ultimo punto coipunti singolari dell'equazione differenziale, supposti in 

 numero di m (e precisamente in questo senso, che un opportuno sistema di integrali y indipen- 

 denti, nell'atto di attraversare una di queste linee, invece di variare con continuità, subisca 

 una determinata di quelle sostituzioni lineari). Di queste 2p -f m operazioni fondamentali, 

 alcune (forse) saranno contenute nel gruppo continuo G'; le altre, e sia H una qualunque di 

 queste, permuteranno fra loro in modo determinato le k schiere di G (una delle quali è 

 appunto G'), intendendo che la permutazione sia precisamente tale da sostituire ad ogni 

 schiera quell'altra, che è il prodotto di questa stessa per l'operazione H considerata. Im- 

 maginiamo ora altre k — 1 superficie di Kiemann, tutte identiche a quella data, e ad essa 

 sovrapposte ; e ognuna di queste k si faccia corrispondere a una determinata delle k schiere 

 del gruppo G. Di più, immaginiamo di incidere queste stesse superficie lungo le linee h che 

 corrispondono alle operazioni H; e, volta per volta, raccordiamole l'una coll'altra, lungo queste 

 stesse linee, secondo la permutazione che la corrispondente operazione H determina fra le k 

 schiere del gruppo G. Avremo così una nuova superfìcie di Eiemann (complessiva), che rappre- 

 senterà certo un ente algebrico irriduttibile (se tale era quello primitivo), perchè le operazioni 

 H, combinate in modo opportuno, permettono di passare da una qualunque delle k schiere a ogni 



