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corrisponderà come operazione analitica la risoluzione di un'equazione algebrica di 

 grado k, * coefficienti razionali sulla superfìcie di Kiemann primitiva (e in parti- 

 colare di un'equazione binomia, quando dal gruppo continuo si può passare a 

 ciascuna delle altre k — 1 schiera mediante potenze di una stessa operazione del 

 gruppo monodromico) 



« Noi potremo dunque supporre, nella ricerca che ci siamo proposta, che 

 il gruppo monodromico della nostra equazione differenziale sia contenuto nel 

 gruppo continuo più ampio di trasformazioni projettive della superficie P in 

 sè stessa. Ogni altro caso potrebbe ridursi a questo coli' estendere in modo 

 opportuno il campo di razionalità primitivo (*). 



« 3. Supponiamo anzitutto che la superfìcie P ammetta un gruppo con- 

 tinuo (soltanto) oo 1 di trasformazioni projettive. Dalla mia Nota cit. (cfr. questi 

 Eend., p. 152) risulta che i diversi casi possibili devono tutti rientrare in uno 

 dei due seguenti: 



« 1° Le infinite omografìe del gruppo hanno quattro punti doppi (co- 

 muni) distinti e indipendenti (senza escludere con ciò che vi possano essere 

 anche infiniti punti doppi); 



« 2° L'equazione caratteristica di un'omografìa generale del gruppo ha 

 una sola radice quadrupla. 



« Nel primo caso è chiaro (data la forma canonica a cui le equazioni 

 del gruppo potranno ridursi) che fra gli integrali dell'equazione differenziale 

 proposta, ve ne saranno quattro (almeno, e indipendenti) puramente molti- 

 plicativi. L'equazione è dunque integrabile con sole quadrature e funzioni 



altra, sicché i raccordarli enti eseguiti devono anche permettere di passare in modo continuo 

 da uno strato qualsiasi ad ogni altro. Le funzioni razionali sulla prima superficie sono tali 

 anche sulla nuova (ritenuto che esse assumano ora uno stesso valore in ogni gruppo di k 

 punti sovrapposti). E infine, un cammino chiuso qualunque di questa nuova superficie, o 

 evita le linee h, e allora corrisponde certo a una sostituzione lineare contenuta nel gruppo 

 G'; oppure ne incontra qualcuna, ma allora deve incontrarle complessivamente un tal nu- 

 mero di volte, che il prodotto delle corrispondenti operazioni H muti in sè stessa almeno 

 una schiera di G (nel senso che questa schiera moltiplicata per quel prodotto^ riproduca 

 sè stessa); e quel prodotto dovrà allora anche appartenere a G'. In ogni caso dunque la 

 sostituzione corrispondente al cammino chiuso è contenuta in G'. (Per tali costruzioni di 

 superficie di Eiemann, operando su di una superficie data ad arbitrio come se fosse un 

 piano, cfr. Hurwitz, Math. Ann. XXXIX, pag. 51 e seg.). 



(!) Più generalmente, il Gruppo dell'equazione algebrica che dovremo risolvere 

 coinciderà col gruppo delle permutazioni (o sostituzioni) che le operazioni H considerate 

 nella nota prec. e i diversi loro prodotti determinano sulle k schiere del gruppo G (cfr. 

 anche Vessiot; Ann. Éc. Norm. Sup., 1892, p. 236). 



( 2 ) Quest'osservazione, d'altronde semplicissima, ci dispenserà quindi dal cercare volta 

 per volta, se e come i singoli gruppi continui che incontreremo possano venire ampliati 

 (erweitert). 



