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esponenziali (le quadrature essendo da eseguirsi su funzioni razionali nel 

 campo prestabilito). 



« E a questo stesso risultato si giunge anche nel 2° caso. Ad es., se vi 

 è un solo punto unito quadruplo (se cioè la radice quadrupla dell'equazione 

 caratteristica non annulla tutti i subdeterminanti di 3° ordine del determi- 

 nante che costituisce il 1° membro di essa), le equazioni del gruppo potranno 

 ridursi alla forma: 



= yi + *i y^ t-i-hn K y 3 t 2 + l h h y, t 3 



6 



ì. L n. fi 



2 



yz 0) =y* + hy 3 i-{-lhhy*t 



ù 



y^ = y± 



dove le 1 sono costanti, e t è il parametro variabile (cfr. Pittarelli, / gruppi 

 continui proiettivi semplicemente infiniti nello spazio ordinario; Ann. di 

 Mai, ser. 2% t. XXII, p. 285). 



« Da queste formule si deduce che la y 4 è puramente moltiplicativa (') ; 



che il rapporto — si comporta additi vam ente rispetto a tutte le operazioni del 



y* 



gruppo, ed è perciò un integrale Abeliano sulla data superfìcie di Riemann ; e 

 che infine le funzioni: 



; K y\ — 2 ^ ih y± . _ 3 X\ v, vi — 3 Ai h y 2 y 3 y* + *i ^ gj 

 A= y\ h ~~ yì 



si conservano numericamente inalterate rispetto alle operazioni dello stesso 

 gruppo oo 1 , dunque anche rispetto a quelle del Gruppo di razionalità del- 

 l'equazione differenziale proposta (che è contenuto nel precedente, oppure coin- 

 cide addirittura con esso ( 2 )), e sono perciò razionali sulla stessa superfìcie 

 di Riemann ( 3 ). E poiché la y 3 non è che il prodotto di y 4 per il rapporto 



% la y 2 è funzione razionale di y 3 , y 4 e f u e la y, è funzione pure razionale 



y< 



(i) Non si può escludere infatti che essa si riproduca soltanto a meno di certi fattori, 

 i quali dovranno comparire allora anche in tutte le altre y. 



(*) A meno che lo stesso gruppo di razionalità non contenga più sostituzioni li- 

 neari corrispondenti a una medesima trasformazione proiettiva del gruppo oo' conside- 

 rato. Ma quelle sostituzioni lineari si potrebbero allora ottenere applicando prima la 

 trasformazione projettiva corrispondente, e moltiplicando poi ancora tutte le y per uno 

 stesso fattore, il che non altererebbe nemmeno le funzioni fa e /„ essendo esse omogenee 

 (di grado zero). 



(3) Le equazioni fa = cost. e fa = cost. rappresentano rispettivamente due fasci di 

 superficie; la prima, di coni quadrici (col vertice comune nel punto y. i = y z —y i = Q); la 

 seconda, di rigate cubiche di Cayley. Due superficie appartenenti rispettivamente a questi 



