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dove le a sono (o almeno si possono ritenere) numeri interi, aventi per somma 

 zero. Quest'unico caso si presenta infatti quando i quattro punti doppi (che 

 risultano comuni alle oo 2 omografie del gruppo) sono tutti distinti ; negli 

 altri casi si ottengono come superfìcie W algebriche (all'infuori dei piani 

 uniti) soltanto rigate cubiche di Gayley, o quadriche; dunque superfìcie che 

 ammettono rispettivamente ce 3 o co 6 trasformazioni projettive ( ] ). 



a È chiaro che in questo caso l'equazione differenziale proposta ammet- 

 terà ancora (come nel 1° caso del n° prec.) quattro soluzioni indipendenti pura- 

 mente moltiplicative, e si potrà perciò integrare con sole quadrature (e fun- 

 zioni esponenziali) ( 2 ). 



« 5. Nel secondo caso le equazioni del gruppo oo 2 possono mettersi sotto 

 la forma (cfr. Enriques, 1. e, p. 35): 



dove a e q sono i parametri, e p è una costante (razionale, se il gruppo 

 deve essere (come in questo caso) algebrico, e diversa da 1 e da -- se la su- 

 perficie F non deve essere una quadrica, nè una rigata di Gayley). 



e La 2/ 2 e la y 3 si comportano dunque moltiplicativamente rispetto a 



tutte le operazioni del gruppo, e i rapporti - e subiscono sostituzioni lineari 

 intere (sono dunque integrali di funzioni moltiplicative) ( 3 ). L'equazione diffe- 



(!) La rigata di Cayley si ottiene quando vi è un solo punto unito quadruplo (cfr. Compt. 

 Eend., t. LXX, p. 1224). In ogni altro caso, l'equazione della corrispondente superficie W 

 (che qui vogliamo sia algebrica) si ottiene ponendo un'equazione lineare tra funzioni al- 

 gebriche (razionali, intere) delle coordinate (non omogenee), che risultano di grado non 

 superiore al secondo. L'equazione non può dunque rappresentare che una quadrica (o 

 un piano). 



( 2 ) È notevole il fatto che questo gruppo continuo oo 3 può essere ampliato in modo 

 semplicissimo, quando due o tre delle « siano eguali fra loro (nel qual caso appunto le y 

 corrispondenti possono venir comunque permutate). Ciò si verifica ad es. per la superficie 

 cubica y\ — y 2 y 3 y t = 0. Il caso in cui la curva T è contenuta in una tal superficie (o in 

 una varietà analoga y\ - y t y 3 - y^. = 0 di S p , quando si trattasse di un'equazione diffe- 

 renziale di ordine p + 1) è stato studiato analiticamente dal signor Wallenberg in una Nota 

 escita alcune settimane or sono (Journ. de Creile, t. CXIV, 3° fase). E il risultato da lui otte- 

 nuto è una conseguenza immediata del fatto che il gruppo delle trasformazioni projettive 

 ammesse da questa varietà di 8 P si compone (per p > 3) di un gruppo continuo transitivo 

 oo»- 1 coi punti uniti fissi, e delle altre p ! — 1 schiera, che si ottengono moltiplicando 

 questo gruppo per le sostituzioni lineari corrispondenti alle diverse permutazioni delle 



y*, ys, •■• 



(3) E tutto questo continuerebbe a sussistere anche se assieme alle y^ conside- 

 rate di sopra se ne dovessero considerare (e cosi potrebbe occorrere) altre, differenti da 

 queste per uno stesso fattore, forse anche variabile. Lo stesso dicasi per i due casi seguenti 

 (cfr. anche la nota ( 2 ) a p. 236). 



