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renziale proposta è ancora integrabile per quadrature e funzioni esponenziali, 

 e ammette in particolare due soluzioni distinte puramente moltiplicative. 

 « Nel 3° caso le equazioni del gruppo possono mettersi sotto la forma : 



7/2 (1) = q {y% + « y») = q p y* 



dove ancora « e q sono i parametri, e p è una costante arbitraria (nel nostro 

 caso razionale). La y 3 e la y± si comportano dunque moltiplicativamente ; il 



rapporto — subisce soltanto delle sostituzioni lineari intere, e infine la fun- 



y* 



zione y x y 3 — y\ si comporta anch'essa moltiplicativamente ( 1 ). Tutte quattro 



le y si potranno dunque esprimere con sole quadrature e funzioni esponenziali. 

 « Nel 4° caso infine, le equazioni del gruppo oo 2 si possono mettere 



sotto la forma (cfr. Enriques, Atti Ist. Veti., ser. 7 a , t. V, p. 3 della Nota cit): 

 y^= aS yi -\-3a*Py 2 + 3 a/? 2 y 3 + /*> y\ y™= ay 3 + § y, 



yf>= a*y 2 -\-2 a fi y 3 -f- /5 2 y± y* ix> = y* 



sicché y 4 è ancora funzione moltiplicativa, — è l'integrale di una tale fun- 



/ione, e le due funzioni: 



yl—y*y* e yìyì — %y x y % y 3 y^ J r ^y x f 3 -\-^y\y i — Sylf 3 

 sono esse pure moltiplicative. Le y si possono dunque esprimere anche in 

 quest'ultimo caso con sole quadrature e funzioni esponenziali, più (per y x ) 

 un'estrazione di radice quadrata ( 2 ). 



« Anche se la superficie P ammette oo 2 trasformazioni proiettive in sè 

 stessa, l'integrazione dell'equazione differenziale proposta non richiede dunque 

 operazioni più elevate delle quadrature. Di queste però ne possono occorrere, 

 e ne occorreranno anzi in generale (almeno nei tre ultimi casi), due successive, 

 la prima essendo da eseguirsi su di una funzione razionale. In un'altra Nota 

 vedremo come ciò sia d'accordo colla composizione dei diversi gruppi co 2 che a 

 noi si sono presentati, e passeremo poi al caso in cui la superficie P ammette 

 oo 3 o più trasformazioni proiettive ». 



(!) Le omografie di questo gruppo oo 2 mutano infatti in sè stesso il cono ?/i y 3 — y\ == 0. 

 Questo cono ha il vertice nel punto y l =y 2 = y 3 = 0, contiene come generatrice fissa la 

 retta y 2 = y 3 = 0, e è toccato lungo questa generatrice dal piano fisso y 3 = 0. Di più, 

 anche la sezione piana determinata nel cono dal piano }/i = 0 è mutata in sè stessa da 

 tutte le omografie del gruppo (cfr. Enriques, Mem. cit., pp. 23, 40). 



( 8 ) Quest'ultimo gruppo oo 2 si compone delle omografie che mutano in sè stessa una 

 cubica sghemba con un punto unito (fisso) (2/2=2/3=2/4 = 0) su di essa; e le due ultime 

 funzioni, che abbiamo detto essere moltiplicative, eguagliate a zero, rappresentano rispet- 

 tivamente il cono quadrico che projetta la cubica da questo punto unito, e la sviluppabile 

 -biquadratica circoscritta alla stessa curva. É chiaro perciò che dette funzioni dovranno 

 appunto riprodursi, dopo una qualunque trasformazione del gruppo, a meno di certi fattori. 



