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« La supposizione, che abbiamo fatto ponendo e ■ = —j- dx , è la più 



semplice, ma non è rigorosamente vera; perchè confonde la curva, che riu- 

 nisce due punti y e y' posti su due ordinate alla distanza d , colla retta 

 tirata fra i due medesimi punti. La quantità e è in fondo più piccola di 

 quanto risalita da quella supposizione. Ne segue che l'equazione (1) non è 

 rigorosamente esatta e deve condurre per y a valori troppo alti. Per vedere 

 fino a che punto di approssimazione si arrivi, ho calcolato coi medesimi 

 dati dell'esempio numerico precedente, la curva, i cui valori sono riportati 

 nella tabella del cap. I. La differenza tra questa ed i valori esatti non è 

 molto grande, ma non è trascurabile, salendo per l'ultima fila fino a 23 

 centimetri. Una migliore concordanza si ottiene, considerando l'equazione (1) 

 come una forinola empirica, con due costanti a e b da determinarsi. Pren- 

 dendo p. e. come punti fissi quelli della prima e dell'ultima fila, e calco- 

 lando da essi non solo b , ma anche a , si trova 



a = 0,18649 invece di a = 0,20000 

 e per una fila intermedia, p. e. per la settima 



y n ~ 2,7089 invece di y n = 2,6912 diff. 0,0177 

 vale a dire una differenza praticamente insignificante di meno di 2 centi- 

 metri. Ne segue che l'equazione (1) risolve bensì il problema dal punto di 

 vista pratico, ma non in via teorica. 



« Che questo sia così, si può dimostrare anche direttamente. Pónendo 

 in (1) x-\- d al luogo di x , si ha 



y = b (x -f- d) -j- (* -f- d) log (x -4- d) 



Ora, la condizione fondamentale e caratteristica del problema è che 



(/ — a):y = {x-\-d):x 



da cui y' — - d ■ y ~ - a (2) 



« Ma se si sostituiscono in (2) i valori, si ha con breve riduzione per 

 il primo membro dell'equazione 



il quale valore, invece di essere uguale ad a , è invece espresso dalla serie 

 infinita 



a \ + 2 ' x 2 • 3 ' x- 3 • 4 ' x 3 ) ' 



che diviene uguale ad a soltanto per lim x = oo . 



« Scrivendo p-\-x per x, dove p rappresenta l'ascissa corrispondente 

 alla prima fila, la (1) diviene 



y ==b(p-\- r|" (p -f- X) log (p + X) (3) 



