279 — 



Si osserverà la grande rassomiglianza di questa equazione colla equazione 

 approssimata logaritmica (3). 



« Per fare anche meglio risaltare tale somiglianza, basta trasformare 

 la (3) nello stesso modo, come abbiamo trasformato la (8). Ponendo di nuovo 



d 



= u 



c = bd -f- « log d 



la (3) diviene infatti y = cu -f- au log u . 



In ambedue la c è una costante da determinarsi sulle condizioni speciali 

 del problema, e la sola differenza sta in ciò, che al posto di un logaritmo 

 figura una funzione Z . Ma se le due equazioni hanno una forma esterna 

 consimile, la loro vera natura non cessa per ciò di essere diversa. Difatti 

 le funzioni Z possono esprimersi colla serie seguente 



ni \ t d 11 1 1 ) 



Z (,« ) = Imi | log n — - — ;7XT — 'tTZi P er ìimn 



co 



,« y.-j-2 n-\-n) 



da cui risulta che soltanto per lim (i==.ao-, si può porre 



lim Z (fi) = lim log n 

 vale a dire, la funzione Z si avvicina indefinitamente al logaritmo soltanto 

 per valori grandissimi del suo argomento. 



« V. Il medesimo problema può risolversi anche per altra via. Come 



appare dalla fig. 3, quando p-\-x diviene 

 p-\- x-\-d, y diviene y' e sempre per la 

 solita somiglianza dei triangoli si ha 

 , p4-x4-d 



ossia 



p+x 

 p4-x4-d 



y ■ , — -+- 1 



p+x 



Ponendo y =f( p J rX ), y'=flp-\-a> -f - d) 

 si ha l'equazione funzionale 



f(P + * + d) =^=^ f (H-*) + a 

 p-\-x 



che si tratta di risolvere. Poniamo x = 0 , si ha 



« Prima di proseguire, conviene avvertire che f(p) è il valore dell'or- 

 dinata per la prima fila. La soluzione più semplice, consiste nel considerarla 

 eostante e per avere una forinola direttamente paragonabile alle (8) e (9), 

 porremo f (d) = Wi -f- a ; avremo 



per la 2* fila: f( p + d ) = ^{p + d) + a(p + d)^+^^ 

 Ponendo successivamente x == d ,. 2d , • • ■ (n — l)d, con sostituzioni suc- 



cessive avremo 

 per la 3 a fila : 



p-\-2d 



P 



-a(p- 



- 2 4ì 



p-\-d 1 p-\-M) 



Rendiconti. 1895, Voi,. IV, Sem. l.° 



