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quanto alle C , che sono in numero di n , debbono soddisfare le n ^ 



equazioni (5) alle derivate parziali lineari del primo ordine. Dunque le equa- 

 zioni (4), e quindi le (1), ammetteranno o non ammetteranno integrali della 

 forma (2) secondochè le equazioni (5) hanno o non hanno soluzioni comuni. 

 Quando le (5) hanno soluzioni comuni, la (6) stabilisce ancora una relazione 

 che deve intercedere tra le forze, perchè sussista l'integrale (2). 



« 2. Premesso ciò, si considerino nello spazio S, t tre punti M , M' , Mi 

 infinitamente vicini di coordinate 



gì '., gw-- • • in ; 



qi + dq y , q 2 -\-dq 2 ,--- q n -j- dq n ; 



qi + d'qi , q, + d'q 2 ,•■•?» + d'q n ; 

 accennando con co l'angolo compreso fra i due elementi lineari MM' = ds , 

 MM, = dsi , si avrà, per cose note, 



ds dsi cos co == X a >H dq, d'qn . 



Immaginiamo prodotta nello spazio S n una deformazione infinitesima per ef- 

 fetto della quale il punto M passi nel luogo di coordinate qi + ^i , q» + 

 + dq% , • • • q n + <ty" : la variazione corrispondente di ds dsi cos « risulterà 

 così espressa 



(7) S ■ ds dsi cos (o = ds ds x cos co -f- — & fife, sen co 6a> 



= y_ Sa li dq i d'qn J r'^_ a,k {ddqi d'qn + dq\ d'Sq k ) , 



ossia 



(7i) S ■ ds ds, cos w = 2 X d'?» 



dove 



Introduciamo in luogo delle dq altre funzioni u definite dalle equazioni 

 (8) Un — X a<n % , 



r 



allora, giovandoci de' simboli di Christoffel a tre indici di prima specie re- 

 lativi alla forma (3), otteniamo per 6 ik l'espressione 



