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bile con sole quadrature (più, forse, operazioni algebriche) , quando la stessa 

 superficie non ammette più di oo 2 trasformazioni proiettive in sè. E bene ora 

 osservare che questo risultato è anche d'accordo colla composizione dei di- 

 versi gruppi di trasformazioni, che a noi si sono presentati. E noto infatti 

 (Vessiot, Ann. Éc. Norm. Sup., 1892; Klein, Einleitung in die hòhere Geo- 

 metrie (lezioni litogr.), II, p.. 297) che l'integrazione di una data equa- 

 zione differenziale lineare dipende essenzialmente dalla composizione del 

 relativo gruppo di razionalità ; e che, in particolare, X integrazione stessa 

 può ricondursi a una serie di quadrature sempre e solo quando questo 

 gruppo è integrabile ( x ) (Vessiot, 1. e, p. 241; Klein, 1. e, p. 298); quando 

 cioè, supposto ch'esso sia oo ,J , esso contiene un sottogruppo eccezionale^-) 

 oo , quest'ultimo un sottogruppo eccezionale oo ?£ - 2 , e così via ( 3 ). D'altra 

 parte il Gruppo di razionalità, o Gruppo di Picard- Vessiot ( 4 ), di un'equa- 



(!) Denominazione usata per la prima volta dal sig. Lie nei Ber. der K. Sachs. Ges. 

 d. Wiss. zu Leipzig (1887). Il concetto di gruppo integrabile è però anteriore e risale ai 

 primi lavori di Lie (cfr. ad es. i lavori inserti negli Atti della Società delle Scienze di 

 Cristiania, 1874). 



( s ) « Ausgezeichnete Untergruppe » secondo F. Klein (1. e, p. 15); « invariante 

 Untergruppe » secondo Lie (cfr. ades.: Theorie der Transformationsgruppen, voi. I,p. 261). 

 Si chiama così un sottogruppo che venga trasformato in sè stesso da ogni operazione del 

 gruppo complessivo (più ampio), dentro cui lo si considera. 



( 3 ) In generale dunque si richiede che vi sia tutto un sistema di k—l sottogruppi 

 ooft-ì (^ = 1,2,... k—l), tali che ciascuno di essi sia contenuto come sottogruppo ecce- 

 zionale entro il precedente (oo (cfr. ades. Klein, 1. e, p. 176; Lie, op. cit., voi. I., 

 p. 265 e seg., voi. III., pp. 679, 680, 709 ; Lie-Scheffers. Vorlesungen iiber continuirliche 

 Gruppen ; p. 537). 



( 4 ) Oltre la Mem. cit. di Vessiot: Sur V integration des équations différentielles li- 

 néaires (Ann. Éc. Norm. Sup., 1892), cfr. anche Picard: Compi Eend., 1883; Ann. 

 de la Fac. d. Se. de Toulouse, 1887; Compi Eend., t. CXIX, séance du 8 oci 1894. Questo 

 gruppo di razionalità gode, rispetto all'equazione differenziale, di proprietà analoghe a 

 quelle del gruppo (di Galois) di una data equazione algebrica; e la sua composizione 

 (o struttura) determina appunto la natura (e la difficoltà) del problema di integrazione che 

 dobbiamo risolvere, nello stesso modo in cui la composizione del gruppo di un' equazione 

 algebrica qualsiasi determina la possibilità o meno di ricondurre la risoluzione di essa a 

 quella di una serie di altre equazioni più semplici. Al caso (più semplice fra tutti) di 

 un'equazione differenziale integrabile con sole quadrature corrisponderebbe, da un tal punto 

 di vista, quello di un'equazione algebrica risolvibile per radicali. — Più generalmente, 

 ogni singolo « fattore di decomposizione » {Zerlegungsfactor) del gruppo di razionalità 

 determina e richiede un certo passo nel problema di integrazione, e un passo (in generale) 

 tanto più difficile ed elevato, quanto più quel fattore è grande (cfr. Vessiot, Mem. cit., 

 p. 235 e seg.). E in questo stesso ordine di idee rientra anche sostanzialmente ciò che 

 nella Nota prec. (p. 234-235) abbiamo detto a proposito dei gruppi misti. Entro un tal 

 gruppo , il (sotto)gruppo continuo massimo è appunto eccezionale ; e come da questo si 

 ottiene il primo moltiplicandolo per un numero finito di altre operazioni, cosi dal primo 

 si ridiscende a questo mediante la risoluzione di un' equazione algebrica. 



