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zione differenziale lineare è sempre il minimo grappo algebrico contenente 

 il gruppo monodromico di essa ; e nei casi da noi considerati esso sarà perciò 

 contenuto a sua volta nel gruppo (che è appunto algebrico) di tutte le tras- 

 formazioni proiettive della superficie F in sè stessa, oppure coinciderà addi- 

 rittura con quest'ultimo ( I ). Prescindendo perciò dal caso ch'esso contenga 

 soltanto un numero finito di operazioni, esso non potrà essere che oo 1 — e questo 

 è un caso ovvio di gruppo integrabile — oppure oo 2 ; ma allora dovrà coincidere 

 con uno dei quattro gruppi considerati ai nn. 4 e 5 della mia Nota cit. 

 E questi gruppi sono appunto tutti integrabili ( 2 ). Il primo di essi si compone 

 infatti di operazioni permutabili, sicché ogni suo sottogruppo oo 1 è certa- 

 mente eccezionale ; il secondo contiene, per q = 1 , un sottogruppo eccezio- 

 nale di omografie biassiali, coi due assi infinitamente vicini alla retta 

 #2 -=#3 = 0 (cfr. Enriques, Atti Ist. Ven., ser. 7 a , t. IV, p. 1627); il terzo 

 contiene, ancora per (> = 1, un sottogruppo eccezionale di omografie assiali, 

 colla retta y 3 = y 4 — Q come asse, e due punti uniti coincidenti sopra questa, 

 nel punto y^y^-y^O; il quarto infine, per 1 , un sottogruppo ecce- 

 zionale oo 1 con quattro punti uniti coincidenti ( 3 ). 



« La possibilità di integrare l'equazione differenziale proposta, nei casi 

 già considerati, senza ricorrere ad operazioni più elevate, trova dunque la 

 sua conferma, anche se il gruppo di razionalità è oo 2 , nella composizione 

 di questo gruppo ( 4 ). 



« 2. Passiamo ora al caso in cui la superficie F (dello spazio S 3 ) am- 

 mette oo 3 o più trasformazioni proiettive in sè stessa. Escluso il caso del 



(0 A meno che non vi sia nel gruppo monodromico qualche operazione, in seguito 

 alla quale tutti gli integrali risultino moltiplicati per uno stesso fattore. Allora alla consi- 

 derazione del gruppo di trasformazioni projettive della superficie F bisognerebbe sosti- 

 tuire quella di un certo gruppo di sostituzioni lineari quaternarie, nel quale più, e forse in- 

 finite sostituzioni corrisponderebbero ad una stessa trasformazione projettiva dello spazio S,. 

 In seguito, faremo sempre astrazione da questo caso, il quale non porterebbe con sè «he 

 l'aggiunta, in tutti gli integrali, di uno stesso fattore esponenziale, determinabile con una 

 quadratura (cfr. anche la nota ( 2 ) a pag. 236 di questi Eend.). 



( 2 ) Possiamo verificarlo (e lo verificheremo appunto) in ciascuno dei quattro casi: 

 ma dalle ricerche generali del sig. Lie risulta già senz'altro che ogni gruppo conti- 

 nuo 002 deve essere integrabile (op. cit., voi. III., p. 681, 713). 



( 3 ) Sulla cubica unita (cfr. la Nota prec. cit.) questo sottogruppo determina il fascio 

 -di omografie paraboliche coll'unico punto unito nel punto che è fisso per tutto il gruppo oo -. 



( 4 ) Eisulta anche confermato in ogni singolo caso il teorema di Vessiot (Mem. cit., 

 p. 245): Ogni equazione differenziale lineare integrabile con sole quadrature ammette 

 un integrale avente per derivata logaritmica una funzione razionale (ossia un integrale 

 puramente moltiplicativo). Questo teorema è, d'altronde, una conseguenza immediata della 

 forma a cui possono ridursi le equazioni di ogni gruppo integrabile di sostituzioni lineari 

 {cfr. Lie, op. cit,, voi. I, p. 589; Lie-Scheffers, op. cit., p. 537). 



