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piano (perchè se no l'equazione differenziale proposta si ridurrebbe al 3° or- 

 dine), questa superfìcie non potrà essere che ( ] ): 



1° Una rigata cubica di Cayley (ossia colle due direttrici rettilinee 

 infinitamente vicine) ; 



2° Una sviluppabile biquadratica circoscritta a una cubica sghemba; 



3° Un cono ; 

 4° Una quadrica. 

 « La rigata di Cayley ammette un gruppo continuo co 3 (e non più) di 

 trasformazioni projettive, le cui equazioni possono ridursi alla forma: 



(1) y. cl> = e (y* + «yO 



= f (y 4 + 3ay 3 + 3/% 2 + « (3# — 2« 2 ) ^) 

 dove sono i tre parametri. L'equazione della superficie è data allora da : 



(2) 'A yi 2 — 'òy, y% y, + 2// 2 3 = 0 



essendo ^ 1 = ^ 2 = 0 la direttrice rettilinea (unica) ; #i = 0 il piano che ha 

 comune colla superfìcie questa sola retta, contata tre volte ; y x = y% = y% — 0 

 il punto da cui si deve ritenere uscente quella particolare generatrice, che 

 è infinitamente vicina alla direttrice. Queste equazioni permettono di con- 

 cludere senz'altro che la y x sarà funzione moltiplicativa (esponenziale di un 



integrale Abeliano) sulla data superfìcie di Kiemann, e che i rapporti ^ e 

 V* — yiys garann0 integrali di tali funzioni, sicché anche y 2 e y 3 si po- 



y* 



tranno ottenere con sole quadrature . La y é si potrà poi esprimere razional- 

 mente mediante le altre tre soluzioni, essendo legata a queste dall'equazione (2). 



« Anche qui del resto la possibilità di integrare l'equazione differenziale 

 proposta con sole quadrature è d'accordo coli' essere il gruppo oo 3 rappresen- 

 tato dalle equazioni (1) un gruppo integrabile ( 2 ). Esso contiene infatti, per 

 q = 1 , un primo sottogruppo eccezionale costituito da oo 2 omografìe con uno stes- 

 so (unico) punto unito quadruplo (nel punto y x = y 2 = y 3 = 0);e poiché queste 

 omografìe sono fra loro permutabili, sarà pure eccezionale, entro questo gruppo 



(!) Cfr. Lie, op. cit, voi. Ili, p. 196; Enriques, Atti Ist. Yen., ser. T, t. IV e V. 



(«) Il gruppo di razionalità dell'equazione differenziale potrebbe anche essere un sot- 

 togruppo oo 2 o oo 1 di questo gruppo oo 3 ; ma anche in questo caso sarebbe egualmente 

 integrabile (e non cesserebbe nemmeno di esserlo quando si presentasse il caso conside- 

 rato nella nota ( 3 ) a p. 293). 



Rendiconti. 1895, Voi. IV, 1° Sem. 39 



