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co 2 , ogni sottogruppo co 1 . In particolare, per q=1 , a = 0, si ha un sot- 

 togruppo co 1 (eccezionale anche nel gruppo co 3 ) di omografie biassiali (e pre- 

 cisamente di omografie rigate speciali) colla retta y 1 =y 2 = 0 come luogo 

 di punti e inviluppo di piani uniti. 



« Quest'ultimo risultato, unito ai precedenti, ci permette di affermare che : 

 Se quattro soluzioni indipendenti dell'equazione differenziale lineare pro- 

 posta (cfr. la Nota prec, n. 2) sono legate da un equazione algebrica omo- 

 genea a coefficienti costanti (digrado superiore al primo), (quell'equazione 

 differenziale sarà certo integrabile con sole (quadrature ed operazioni 

 algebriche, quando la superficie rappresentata dall'equazione algebrica 

 che si è supposta esistere non sia una sviluppabile circoscritta a una 

 cubica sghemba, nè un cono, nè una quadrica. 



« In questi tre casi invece l'integrazione della stessa equazione differen- 

 ziale può richiedere, come ora vedremo, quella di una o due equazioni diffe- 

 renziali lineari di 2° ordine ('). 



« 3. Il caso in cui la curva r definita dall'equazione differenziale proposta 

 è contenuta in una sviluppabile biquadratica circoscritta a una cubica sghemba 

 è stato già studiato dal sig. Goursat (Compt. Eend., t. C, p. 233); e, più tardi, 

 anche da Ludw. Schlesinger (Diss. cit., p. 29-31). Il primo di essi ri- 

 corre anzi sostanzialmente a considerazioni geometriche. — Indicate con z% 

 (i=l, 2, 3, 4) le coordinate del punto in cui la cubica di regresso della svi- 

 luppabile è toccata dalla sua tangente passante per un punto generico (y) 

 della curva r (sicché anche le Z\ potranno ritenersi funzioni della variabile 

 indipendente x) si avranno relazioni del tipo: 



Vi=^i^Hk (« = 1,2,3,4) 



dove p e q sono, per il sig. G-oursat, funzioni uniformi, se sono tali i coeffi- 

 cienti dell'equazione differenziale proposta; nel nostro caso, saranno funzioni 

 razionali sulla data superficie di Kiemann. Le z- t saranno invece (in generale) 

 funzioni a più, o anche a infiniti valori ; ma le diverse operazioni del gruppo 

 monodromico produrranno su di esse sostituzioni lineari identiche a quelle 

 delle i/i ( 2 ) ; dette funzioni saranno perciò soluzioni indipendenti di una nuova 

 equazione differenziale lineare di 4° ordine, la cui curva r è la stessa cu- 



(*) Questi tre casi sono precisamente i soli (cfr. la Nota prec.) in cui la questione 

 che ci siamo proposta è già stata studiata. L'equazione differenziale si potrà dunque certo 

 integrare per quadrature ogni qual volta la funzione H di Ludw. Schlesinger (Diss. cit., 

 p. 24) non sia una costante. (Supposta la superficie F rappresentata da un' equazione (omoge- 

 nea) /=0, la funzione H sarebbe laHessiana della /', divisa, quando sia possibile, per la 

 maggior potenza di quest'ultima che vi è contenuta come fattore). 



( 2 ) Potranno però le Si, come funzioni di x, riprodursi tali e quali (o a meno di 

 uno stesso fattore) dopo talune sostituzioni del gruppo monodromico, senza che ciò av- 

 venga anche per le 



