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bica; e questa nuova equazione sappiamo già (cfr. questi Rend.. p. 52) che 

 dovrà esser soddisfatta dai cubi delle soluzioni di un' equazione differenziale 

 lineare di 2° ordine, sempre a coefficienti razionali nel campo prestabilito. 

 Indicato pertanto con Y l'integrale generale di quest'ultima equazione, dovrà 

 l'equazione differenziale proposta ammettere tutte le soluzioni del tipo: 



y = pY 3 -f Sq Y 2 Y' 



dove p e q sono certe funzioni razionali (che si potranno forse scegliere in 

 vari o anche in infiniti modi, ma, una volta fissate, dovranno restar sempre 

 le stesse). 



% L'integrazione dell'equazione differenziale proposta si riduce dunque 

 a quella di un' equazione differenziale lineare di 2° ordine (o di una delle 

 forme equivalenti) ('), Ciò è d'accordo col fatto che il gruppo oc 3 delle omo- 

 grafie che mutano in sè stessa la nostra sviluppabile è simile a quello pure 

 co 3 delle projettività binarie (ossia in una forma semplice, o ente razionale). 



« 4. Se la superficie F è un cono, prendiamone il vertice come punto fon- 

 damentale yi=y 'o = 2/3 = 0 del sistema di coordinate. Allora è chiaro che 

 in tutte le omografie che mutano questo cono in sè stesso, dunque anche in tutte 

 le operazioni del gruppo di razionalità dell'equazione differenziale proposta, 

 le y y , y 2 , y s subiranno soltanto sostituzioni lineari ternarie (vale a dire, 

 nelle loro nuove espressioni non comparirà affatto la y 4 ). E da questo si 

 trae che le y x , y 2 , y 3 sono soluzioni indipendenti di un' equazione diffe- 

 renziale lineare di 3° ordine, a coefficienti razionali nel campo prestabilito ( 2 ). 



« D'altra parte, nel sistema di coordinate fissato, l'equazione del cono F 

 non conterrà la y 4 . Dunque le y x , y 2 , y 3 , che già sappiamo essere solu- 

 zioni indipendenti di un' equazione differenziale lineare di 3° ordine, sono anche 

 legate fra loro da un'equazione algebrica; ricadiamo perciò, per quanto ad 

 esse si riferisce, in un caso da me già precedentemente studiato (cfr. le mie 

 due Note a p. 18 e 51 di questi Rend. ; qui si ha il caso particolare ^ = 3). 



« Se il cono è di 2° grado, le y x , y % , y 3 si potranno esprimere a loro volta 

 sotto la forma: 



d X 2 + c 2 XY + c 3 Y 2 



dove le c sono costanti, e X , Y sono soluzioni distinte di un' equazione diffe- 

 renziale lineare di secondo ordine, sempre a cofficienti razionali sulla data su- 

 perficie di Riemann. 



(!) Questa nuova equazione differenziale si potrà integrare per quadrature sempre e 

 solo quando le diverse operazioni del gruppo monodromico lascino fìssa (almeno) una stessa 

 generatrice della sviluppabile considerata. 



( 2 ) Cfr. Beke, Die Irreducibilitàt der homogenen linearen Dijferentialgleichungen 

 (Math. Ann. XLY, p. 290). 



