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« Se il cono è di grado, superiore al secondo, ma razionale, e la sua 

 equazione può mettersi sotto la forma: 



K K v 3 =cost. 



dove le a sono numeri interi aventi per somma zero (cono parabolico) , sa- 

 ranno y 1 , y% , 2/ 3 funzioni esponenziali di integrali Abeliani. 



* In ogni altro caso le stesse tji saranno funzioni algebriche di x (a 

 meno forse di un fattore moltiplicativo comune) ( 1 ). 



« Quanto alla y A , ottenute le prime tre soluzioni, essa si potrà deter- 

 minare con sole quadrature, e precisamente con al più quattro quadrature 

 successive, la prima delle quali sarebbe da eseguirsi su di una funzione 

 razionale delle soluzioni già ottenute e loro derivate ( 2 ). Questo è anche 

 d'accordo colla composizione del gruppo (intransitivo) oo 4 delle omologie di dato 

 centro (le quali mutano appunto in sè stesso ogni cono col vertice in questo 

 centro) ( 3 ). Le omologie speciali ne formano infatti un primo sottogruppo 

 eccezionale oo 3 ; e sono poi esse stesse a due a due permutabili, sicché ri- 

 sulta pure eccezionale entro quest'ultimo gruppo oo 3 (e anche nel gruppo 

 complessivo oo 4 ) ogni sottogruppo oo 2 o oo 1 di tali omologie. Il gruppo oo 4 

 è quindi integrabile ( 4 ). 



« 5. Il caso in cui la curva r è contenuta in una quadrica (o super- 

 ficie di secondo grado) è stato studiato in un altra Nota del sig. Goursat 

 (Còmpt. Rend.. t. XCVII, p. 31); e anche Halphen vi ha dedicate parecchie 

 pagine della sua Memoria: « Sur les invariants des équations différentielles 



(*) A questo stesso risultato è giunto anche Ludw. Schlesinger (Diss., cit., p. 25, 26, 29). 

 Il caso delle y moltiplicative rientra per lui in quello degli integrali algebrici (e preci- 

 samente radici di funzioni razionali) , avendo egli supposti i coefficienti dell'equazione 

 differenziale razionali nel senso ordinario (funzioni razionali cioè dell'ente di genere zero). 



( 2 ) In generale, quando di un' equazione differenziale lineare di ordine n sono cono- 

 sciute k soluzioni indipendenti, le altre si possono determinare mediante un'equazione 

 differenziale lineare di ordine n — k, e un certo numero di quadrature. Se ne sono cono- 

 sciute dunque n — 1 indipendenti, l'ultima si potrà determinare con sole quadrature 

 (cfr. Fuchs, Journ. de Creile, t. LXVI; Heffter, Einleitung in die Theorie der linear en 

 Diff'erentialgleichungen (1894), p. 52 e seg. ; Schlesinger, Handbueh der Theorie der li- 

 near en Differentialgleichungen (1895), p. 47 e seg.). 



( 3 ) E infatti questo gruppo soltanto che ora dobbiamo considerare ; perchè la deter- 

 minazione delle ?/i , y 2 , y% equivale appunto, geometricamente, ad estrarre il gruppo delle 

 omologie dal gruppo, forse più ampio, di tutte le trasformazioni projettive del cono in 

 sè stesso. 



( 4 ) La composizione del gruppo complessivo di tutte le omografìe che trasformano 

 in sè stesso un cono razionale normale di uno spazio qualunque (in particolare dunque 

 un cono quadrico dello spazio ordinario) è stata assegnata dal Sig. Enriques (cfr. questi 

 Kend., voi. II, 1° sem., p. 532). 



