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linéaires du 4™ ordre » (Acta Matti., voi. Ili, p. 325-380). Il sig. Goursat 

 ha dimostrato in particolare, che in questo caso l 'equazione differenziale 

 proposta è soddisfatta dai prodotti degli integrali di due equazioni diffe- 

 renziali lineari di 2° ordine del tipo: 



S=^>- ; 



dove ¥{x) e Q(#) sono radici di un'equazione di 2° grado, a eoe fidenti 

 uniformi (nel nostro caso sempre razionali sulla data superficie diRiemann) (•)• 



« Anche in questo caso lo spezzamento dell'equazione differenziale li- 

 neare di 4° ordine in due equazioni differenziali di 2° ordine è d'accordo 

 colla composizione del gruppo continuo massimo (co 6 ) di trasformazioni 

 proiettive di una quadrica in sè stessa ( 2 ). Questo gruppo non contiene infatti 

 che due soli sottogruppi eccezionali, tutti due co 3 , di omografie biassiali, 

 differenti fra loro solo per lo scambio dei due sistemi di generatrici ; e cia- 

 scuno di questi due ammette come rette unite tutte le generatrici dell' un 

 sistema, ed opera su quelle dell'altro sistema come il gruppo co 3 delle 

 projettività in una forma semplice. Il gruppo continuo co 6 si può ottenere 

 per moltiplicazione di questi due sottogruppi ( 3 ) ( 4 ). 



« 6. Fra le curve r contenute in una quadrica, Halphen ha studiate 

 in particolare quelle, le cui tangenti appartengono a uno stesso com- 

 plesso lineare. Egli ha dimostrato che queste curve sono tutte anarmoniche, 

 vale a dire che in questo caso l'equazione differenziale proposta può trasfor- 



(i) Cfr. anche Besso, Mera, di quest'Acc. ser. 3 a , voi. XIX. p. 219-231 ; Ludw. Schle- 

 singer, Diss. cit., p. 26-27. _ 



("-) Le operazioni di questo gruppo continuo mutano in sè stesso ciascuno dei due 

 sistemi di generatrici della quadrica. Ma quest'ultima ammette anche un'altra schiera con- 

 tinua oo 6 di trasformazioni proiettive, che scambiano fra loro quei due sistemi; e alla 

 separazione di queste due schiere corrisponde analiticamente come prima operazione (e l'ab- 

 biamo veduto appunto) la risoluzione di un'equazione algebrica di 2° grado (quella che 

 ha per radici le due funzioni P(a?) e Q,{x)). 



( 3 ) E a questi due sottogruppi corrispondono rispettivamente le due equazioni diffe- 

 renziali lineari di 2° ordine, di cui sopra. L'integrazione di queste potrà eseguirsi con sole 

 quadrature, quando le operazioni del gruppo monodromico lascino fissa almeno una genera- 

 trice di ciascun sistema. 



( 4 ) Il risultato ottenuto dal sig. Goursat sussiste soltanto se la quadrica non è un 

 cono; ma il caso in cui invece lo sia è già stato studiato al n.° prec. Allora si può forse 

 dire che le due equazioni differenziali di 2° ordine sono venute a coincidere; e in luogo 

 dei prodotti delle soluzioni di queste due, compaiono infatti i quadrati di quelle dell'unica 

 equazione rimasta. D'altronde, quelle stesse due equazioni differenziali corrispondono, in 

 certo qualmodo, ai due sistemi di generatrici della quadrica; e questi ultimi coincidono 

 appunto nel caso del cono. 



