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numeri e oltre a ciò assegnarono espressioni più o meno approssimate del 

 numero dei numeri primi compresi in un dato intervallo. 



« Riemann nella Memoria: Ueber die Anzahl der Primgahlerì unter 

 einer gegebenen Grosse risolse in certo senso una tale questione, poiché 

 riesci a rappresentare con una funzione F (x) il numero dei numeri primi 

 inferiori ad x; però codesta soluzione, malgrado la sua grande genialità, 

 apparisce oltemodo complicata e, quasi direi, speciosa, se si osserva che, per 

 costruire la funzione F (x) di Riemann si ha la formola : 



dove, essendo f(x) una funzione, che si può risguardare conosciuta 



la sommatoria va estesa successivamente a tutti i numeri m non divisibili 

 per alcun quadrato all'infuori dell'unità, e fi designa il numero dei fattori 

 primi di m. Ne viene che, per calcolare effettivamente F (x), bisognerebbe 

 immaginare di conoscere, per ciascun numero naturale m, se esso ammette 

 fattori primi eguali e, quando sieno tutti differenti, se il loro numero è pari 

 o dispari. In altri termini si dovrebbe risguardar nota la funzione fi (m) di 

 Mertens ( 2 ). 



« Parmi pertanto non superfluo di riprendere sotto un diverso punto di 

 vista questo stesso problema, proponendomi di eliminare la difficoltà, che si 

 incontra nel procedimento di Riemann. In ciò che segue, si troverà asse- 

 gnata (a mezzo di un integrale definito) l'espressione analitica del numero 

 dei numeri primi compresi in un determinato intervallo : incidentalmente mi 

 si presenterà occasione di indicare un criterio di immediata applicabilità per 

 riconoscere se un dato numero sia primo. 



(!) Ges. Werke, p. 136, Leipzig 1876; cfr. anche Bachmann, Zahlentheorie , Zweiter 

 Theil, p. 382, Leipzig 1894. 



( 2 ) Ueber einige asymptotische Gesetze der Zahlentheorie. Giornale di Creile, Tomo 

 LXXVI1, p. 283. 



( 3 ) Veggasi ades.: Eisenstein, giornale di Creile, Tomo XXVII; Curtze, Notes diverses 

 sur la sèrie de Lambert et la loi de nombres premiers, Ann. di Mai, Ser. 2 a , T. I, p. 285; 

 Pincherle, Sopra alcuni sviluppi in serie per funzioni analitiche, Mem. dell'Acc. di Bo- 

 logna, Serie IV, Tom. III. 



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converge, come si riconosce 



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